将行列式D的行列互换后得到的行列式称为行列式D的转置行列式，记作DT，即若

反之，行列式D也是行列式DT的转置行列式，即行列式D与行列式DT互为转置行列式.

性质1　行列式D与它的转置行列式DT相等.

例如：，.

证明：行列式D中的元素aij(i,j=1,2，…，n)在DT中位于第j行第i列上，也就是说它的行标是j，列标是i，因此，将行列式DT按列自然序排列展开，得

这正是行列式D按行自然序排列的展开式，所以D=DT.

这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然.

性质2（互换性）交换行列式的两行（列），行列式变号.

为了后续说明方便，用ri表示第i行，cj表示第j列，用ri↔rj（ci↔cj）表示交换第i行（列）与第j行（列）.

例如：，将D进行r1↔r2后得，与D异号.

性质2可表示为.

证明：设行列式

将第i行与第s行（1≤i＜s≤n）互换后，得到行列式

显然，乘积a1j1…aiji…asjs…anjn在行列式D和D1中，都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，根据n阶行列式的第三种定义，这一项的符号由(−1)τ(1…i…s…n)+τ(j1…ji…js…jn)决定；而对行列式D1，这一项的符号由(−1)τ(1…s…i…n)+τ(j1…ji…js…jn)决定.而排列1…i…s…n与排列1…s…i…n的奇偶性相反，所以(−1)τ(1…i…s…n)+τ(j1…ji…js…jn)=-(−1)τ(1…s…i…n)+τ(j1…ji…js…jn)，即D1中的每一项都是D中的对应项的相反数，所以D=-D1.

例1　计算行列式.

解：

推论　若行列式有两行（列）的对应元素相同，则此行列式等于零.

证明：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D，但由性质2有D=-D，所以D=0.

性质3（倍乘性）行列式某一行（列）所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.

推论　行列式中某一行（列）中的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

性质4　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.

性质5（单行（列）可拆可加性）如果行列式的某一行（列）的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即

证明：

性质6（倍加性）把行列式的某一行 （列）的所有元素乘以数k加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变.如将第i行乘以k加到第s行，可记为rs+k ×ri，即

证明：由性质4有

在计算行列式时，可以利用行列式的性质简化行列式的计算，通常将行列式化为上三角或者下三角行列式，再计算结果，此方法称为化三角形法.简化过程是利用性质对行列式的行与列进行变换，根据需要，引入下面记号：(www.daowen.com)

（1）ri↔rj（ci↔cj）：交换第i行（列）与第j行（列）；

（2）ri×k（ci×k）：数k乘以第i行（列）的所有元素；

（3）ri+krj（ci+kcj）：把第j行（列）的各元素乘以k加到第i行（列）相应的元素上.

例2　计算行列式.

解：这个行列式的特点是各行4个数的和都是6，把第2、3、4各列同时加到第1列，把公因子提出，然后把第1行×（-1）分别加到第2、3、4行上就成为三角行列式.具体计算如下：

例3　计算行列式.

解：

例4　计算n+1阶行列式.

解：将D的第2列、第3列、…、第n+1列全加到第1列上，然后从第1列提取公因子再将第1行乘以（−1）分别加到第2行、第3行、…、，第n+1行，即

练习题（三）

1.计算下列各行列式.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）.

2.证明以下各式.

（1）；

（2）.

（3）设a,b,c为互异实数，证明行列式的充分必要条件为a+b+c=0.

3.求x的值使.

4.已知abcd=1，证明：.

5.计算n阶行列式：.