定义8.2 设函数 f(t) 在区间 [0，∞) 上有定义，如果含复参数 p 的无穷积分

对 p 的某一取值范围内是收敛的，则称

为函数 f(t) 的拉普拉斯变换，f(t) 称为原函数，F(p) 称为象函数. 称由象函数求原函数的积分

为拉普拉斯逆变换，即有 L−1[F(p)]=f(t).

微分定理8.2 设 f(n)(t) (n=1，2，…) 是分段连续函数，则

例: 非齐次波动方程

解：对方程和边界条件作关于t 的拉普拉斯变换，得

方程 (8.16) 的通解为

由 (8.16) 知，A=B=0，所以

对 (8.18) 作逆拉普拉斯变换，得

Matlab 解算：在程序中用 U(x,p) 代替 ũ(x,p). 对 ksin(πx⁄a) 进行拉普拉斯变换：

>>syms t a x positive,syms k p

>> F=laplace(k*sin(pi*x/a),t,p) %回车，得(www.daowen.com)

F =k*sin(pi*x/a)/p

利用拉普拉斯变换的性质和上面的Matlab结果，对原方程和边界条件作 Laplace变换后，可得 (8.15) – (8.16). 用Matlab 求解问题 (8.15) – (8.16)：

>> syms x p c p a k

>> U=dsolve('D2U–p^2*U/c^2= –k*sin(pi*x/a)/p','U(0)=0,U(a)=0','x');

>> disp('U(x,p)= ')，pretty(U) %回车，得

U(x,p)=

对 U(x,p)=ũ(x,p) 作拉普拉斯逆变换：

>> syms t positive

>> u=ilaplace(U,p,t)

u =k*c^2*a^2*sin(pi*x/a) * (1/pi^2/c^2-1/pi^2/c^2*cosh(pi*(-a^2*c^2)^(1/2)/a^2*t))

>> pretty(u)

于是原问题的解为