π定理 如果某一现象中出现的 (n+1) 个物理量a，a1，…，an由关系式a=f (a1, …, an)联系起来; 又若a1, …, ar是物理量a, a1, …, an中r个最大的量纲无关物理量，则a及其余的ar+1, …, an等n-r +1个物理量的关系式可化成下列只联系n-r +1个无量纲量π, π1, …, πn-r的无量纲形式:

其中α1,…,αr，β1,…,βr，γ1,…,γr为不全为零的三组数组.

下面的例子利用上述π定理给出具体问题的相似解.

例: 假设有一个无穷长平板，平板上面的整个空间充满了粘性不可压缩流体. 假设平板从某一时刻起以常速u0运动. 建立y轴垂直于平板，x轴平行于平板，坐标原点在平板上的直角坐标系Oxy. 以u(y，t)表示t时刻y处流体的速度，ν表示运动学粘性系数，则u(y，t)满足

令

并记

则 (7.98) 变为(www.daowen.com)

主定物理量: t*，y*，u0; 被定物理量: u*; 主定物理量中最大量纲无关组: t*，u0. 根据π定理，有

由变换 (7.99) 和 (7.102) 可得

将 (7.103) 代入问题 (7.101)，得

解常微分方程 (7.104) – (7.105)，得

将 (7.106) 代入 (7.103)，得