下面考虑静电场的一个基本问题，即三维Poisson 方程的第一边值问题:

这里Σ是Ω的边界.

为了求静电场的电位函数 u(x，y，z)，我们考虑相应电源在零边界条件的场，即定解问题:

这里，M0(x0，y0，z0) 是Ω内一定点. 问题 (7.66) 的解G(M，M0) 称为基本函数或格林函数.

定理7.1 设u(M) 是区域Ω内的调和函数，则它在Ω内任意一个点M 的值，可用其边界值和格林函数表示. 具体地说，如果u(M)|Σ=φ(ξ，η，ζ) ((ξ，η，ζ)是边界Σ上的点)，则

式中，M0(ξ，η，ζ) 是积分变量.

证明: 由所给条件及第二格林公式得

因为在Ω内Δu = 0，且

所以

定理7.2 Poisson 方程的第一边值问题的解为:

例: 求半空间的Green 函数及Dirichlet问题的解.

先求上半空间的Green函数，(www.daowen.com)

这里，M0(x0，y0，z0)为上半空间内任一点. 这个问题的物理背景是: 在上半空间的点M0(x0，y0，z0)有点电荷ε0，而导体平面 z = 0接地，我们要求上半空间的电位函数.

如果导体平面z = 0不存在，那么点电荷场的电位函数

满足 (7.70) 中的方程，但是它不满足 (7.70) 中的边界条件. 为了求得满足零边界条件的解，我们在M0(x0，y0，z0) 关于平面 z = 0的对称点M1(x0，y0，-z0) 处虚设一点电荷-ε0，这个负电荷的场的电位函数就是

它满足方程

且当M (x，y，z)在上半空间满足

于是函数

仍满足方程

在平面z = 0 上，有

所以由方程 (7.71) 表示的函数G就是上半空间的Green函数.

再利用Green函数求Dirichilet 问题的解. 因为平面z = 0相对于上半空间的外法向量就是-z方向，所以

代入公式 (7.67)，得问题 (7.68 ) 的解: