这类定解问题可用“边界条件齐次化”的方法求解，再用本征函数展开法来求解，基本步骤为:

(1) 设解

适当选取w(x,t)，使它满足u(x,t) 的边界条件

由此可见，v(x,t)应满足齐次边界条件

既然w(x,t) 满足 (7.5) 的两个方程，为了求得 w(x,t)，就要引入两个待定函数A(x,t) 和B(x,t)，两者最简单的结合就是

将w(x,t) 代入 (7.5)，求出A(x,t) 和B(x,t)，可得

(2) 求出 v(x,t) 的定解问题

将 (7.4) 代入 (7.1) – (7.3) 可得

(3) 本征函数展开法(www.daowen.com)

① 确定与方程 (7.9) 对应的齐次方程在给定边界条件下的本征函数系: 用分离变量法可得本征值问题X " +λX=0，X(0)=X(l)=0。本征函数为 sin(nπx/l)，n = 1，2，….

② 将待定函数 v(x,t) 及方程的非齐次项 f(x,t) 按本征函数系{sin(nπx/l)} 展开:

显然，v(x,t) 自动满足边界条件(7.10)。由本征函数系{sin(nπx/l)}的正交性可得

③ 将两级数代入泛定方程求展开式系数Tn(t):

再次由本征函数系{sin(nπx/l)}的正交性得

将 (7.12) 代入 (7.11) 得

由此得

这样 (7.15)，(7.18) 和 (7.19) 就构成了常微分方程的初值问题。由常数变易法可求得