单组分气体的Boltzmann方程可表示为

下面证明对任意函数φ，有

假设φ是任意一个关于速度、位置和时间的函数，则由(6.26)–(6.29)可知φ满足

如果在上式中将φ取1，f取fφ，则(6.41)变为

(6.41)减去(6.42)，得

因此，

在(6.43)中，等式右边互换c1和c，积分值不变，故有

由(6.43)和(6.44)可得

根据质量、动量和能量守恒定律可知，当φi = m，mc，mc2/2 (i = 1，2，3，4，5)时(6.45)变为0. 所以φi = m，mc，mc2/2 (i = 1，2，3，4，5)称为碰撞不变量，也称为基本碰撞不变量. 在Boltzmann方程(6.38)两边乘以φ，然后积分，得

当φ=iφ(碰撞不变量)时，(6.46)变为

通过简单的计算，由(6.47)可得(www.daowen.com)

其中上面的横线表示被积函数的平均值，即

当i = 1(φ0=m )时，由(6.48)能推出宏观连续性方程，即质量守恒方程：

其中ρ 和u分别表示气体密度和宏观平均速度：

当(φ2,φ3,φ4)=mc =(mcx,mcy ,mcz)时，将三个方程合起来，可以得到如下动量守恒方程：

其中

当时，由(6.48)可推出能量守恒方程:

其中q和e分别表示气体的热流矢量和单位质量气体的内能，符号“:”表示两个张量的双重积.

由于，故可把(6.54)写为如下形式:

这说明了Boltzmann方程可以推出宏观流动的控制方程. 这是因为在微观上，流体由大量的离散分子组成. 任何系统的宏观特征和运动规律，在微观上都表现为分子的无规则的热运动，每个分子受到相互间作用力和外加作用力的影响. 因此对分子的无规则运动进行统计平均后能获得流体运动的规律.