本章中，我们考虑圆管道内的一个时间周期压力驱动流. 假设流体为二元电解质流体，边界上出现速度滑移，管道半径为 a. 建立柱面坐标系 (r，θ，z)，坐标原点在管道中心，z轴与流动方向平行. 这里滑移长度依赖于壁面电荷密度:

其中 b0 是原滑移长度，它独立于壁面电荷密度，α~1，e 是基本电荷，d 是Lennard-Jones 势的平衡距离， lB = e2/(4πεkBT )，ε 是电解质溶液的介电常数. kB 是 Boltzmann 常数，T 是绝对温度.

双电层电势分布满足泊松方程

其中eρ是局部净电荷密度，对对称电解质溶液，当正负离子数浓度满足 Boltzmann 分布时，局部净电荷密度eρ 可用双电层电势φ表示为

其中 n0 是离子浓度，z 是离子化合价. 对低 zeta 势的情形，利用 Debye–Hückel 近似，得sinh(ezφ/(kBT )) ≈ ezφ/(kBT )，再应用方程 (5.2) 和 (5.3)，我们能得到下面的线性化Poisson-Boltzmann 方程其中应用了 ρe = -εκ2φ，ζ 是 zeta 势，κ=[εkBT/(2z2e2n0)]-1/2 是 Debye–Hückel 参数，代表双电层厚度的倒数.

在时间周期压力梯度 cos(ωt)∂p0/∂z 的作用下，产生 z 方向的单向流，ω 代表振荡频率，t 是时间. 假设流体是粘性不可压牛顿流体. 由连续性方程可得 ∂u/∂z=0，所以 u 只是r 和 t 的函数. 因此，动量守恒方程变为

其中 ρ 是流体密度，μ 是黏性系数，Es是流动电势的电场强度，p = cos(ωt)p0 是时间周期压力.边界条件是

其中滑移长度b满足方程 (5.1).

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图5.1　圆管道内的时间周期压力驱动流

根据电荷守恒律，总壁面电荷应等于流体的净电荷，因此

L代表管道长度. 根据方程 (5.2)，(5.8) 和边界条件 (5.5)，有

将方程 (5.9) 代入方程 (5.1)，得

管道内流动电流 ( streaming current) 为

流动电势的电场强度Es 引起反向传导电流 Ic，使得管道内总电流等于零，即

其中σ=2z2e2Dn0/(kBT )是电导率，D 是电解质溶液中离子的扩散系数.

由方程 Is+ Ic=0可得流动电势的电场强度: