在本章中我们利用Debye–Hückel线性化求具有依赖于壁面电荷的壁面滑移的平行板纳米管道内时间周期压力驱动流的解析解。管道内电解质溶液的密度、粘度和电导率分别为ρ，µ 和 σ. 管道长度和宽度远远大于高度2h. 在边界上我们考虑了壁面电荷密度σs 对边界滑移长度b的影响：

其中 b0 是通常的滑移长度，没有考虑避免电荷密度对它的影响. α~1，e 是基本电荷，d 是Lennard-Jones势的平衡距离， lB = e2/(4πεkBT )，ε是电解质溶液的介电常数，kB 是Boltzmann常数，T 是绝对温度.

根据双电层理论，电势分布满足泊松方程

其中 ρe 是局部净电荷密度. 当正负离子的分布服从Boltzmann分布时，对称电解质的局部净电荷密度可以用双电层电势表示.

其中n0是离子浓度，z是化合价.

如果电势 φ 足够小，即满足ezφ/(kBT )<<1，则 sinh(ezφ/(kBT )) 近似等于ezφ/(kBT ). 这种线性化称为Debye–Hückel 线性化. 利用Debye–Hückel线性化，从方程 (4.2) 和 (4.3)，可得线性化l Poisson-Boltzmann 方程

其中 ρe = -εκ2φ，ζ 是zeta势，κ=(εkBT/2z2e2n0)-1/2 是 Debye–Hückel 参数，代表 EDL 厚度的倒数.

在时间周期压力 (cos(ωt)∂p0/∂x,0,0) (与位置无关) 驱动下产生单向流，速度记为 (u，0，0)，其中 ω 是频率，t 是时间. 假设电解质溶液是不可压缩粘性牛顿流体，我们利用连续性方程得到 ∂u/∂x=0，所以 u 只与变量 y 和 t 有关. 因此该流体满足下列动量守恒方程:

其中 Es 是流动电势的电场强度， p = cos(ωt)p0 是时间周期压力. 速度满足下列边界条件(www.daowen.com)

这里滑移长度b 满足方程 (4.1).

根据电荷守恒定律，可知壁面电荷等于流体中的净电荷量，因此

这里，第二等式是从方程 (4.2) 和边界条件 (4.5) 推出来的. 用方程 (4.2)，(4.3)，(4.8) 和Debye–Hückel 线性化，我们可得

把方程 (4.9) 代入方程 (4.1)，我们可以把滑移长度表示为

通过管道的流动电流

流动电势的电场强度在管道内产生反方向传导电流，使管道内的净电场强度为零，即

从方程Is+ Ic=0可以算出流动电势的电场强度: