在本章中我们研究具有依赖于壁面电荷的壁面滑移的平行板纳米管道内时间周期压力驱动流，如图2.1所示。管道内电解质溶液的密度、粘度和电导率分别为 ρ，µ 和 σ. 管道长度和宽度远远大于高度2h. 在边界上我们考虑了壁面电荷密度 σs 对边界滑移长度b的影响:

其中 b0 是通常的滑移长度，没有考虑避免电荷密度对它的影响. α~1，e 是基本电荷，d 是Lennard-Jones势的平衡距离， lB = e2/(4πεkBT )，ε是电解质溶液的介电常数，kB 是Boltzmann常数， T 是绝对温度.

图2.1　平行板微管道及双电层

根据双电层理论，电势分布满足泊松方程

其中 ρe 是局部净电荷密度. 当正负离子的分布服从 Boltzmann 分布时，对称电解质的局部净电荷密度 ρe 可以用双电层电势表示.

其中n0是离子浓度，z是化合价. 由方程 (2.2) 和 (2.3) 我们能得到Poisson-Boltzmann方程

假设电势满足边界条件

其中 ζ 是 zeta 势.

在时间周期压力 (cos(ωt)∂p0/∂x,0,0) (与位置无关) 驱动下产生单向流，速度记为 (u，0，0)，其中 ω 是频率，t 是时间. 假设电解质溶液是不可压缩粘性牛顿流体，我们利用连续性方程得到

所以 u 只与变量 y 和 t 有关. 因此该流体满足动量守恒方程

(www.daowen.com)

其中 Es 是流动电势的电场强度， p = cos(ωt)p0 是时间周期压强. 边界条件为

其中b满足公式 (2.1).

根据电荷守恒定律，壁面电荷σs等于流体中的净电荷，因此

这里，第二等号是用方程 (2.2) 和边界条件 (2.5) 得到的. 把非线性Poisson-Boltzmann方程 (2.4) 两端积分一次，然后利用边界条件 (2.5) 可得

其中κ=(εkBT/2z2e2n0)-1/2 是 Debye–Hückel 参数，代表 EDL 厚度的倒数.

把方程 (2.8) 代入方程 (2.1)，我们把滑移长度 b 表示为

通过管道的流动电流可表示为

流动电势的电场强度在管道内产生反方向传导电流，使管道内的净电场强度为零，即

其中σ=2z2e2Dn0/(kBT )，D 是离子扩散系数.

从方程Is+ Ic=0可以算出流动电势的电场强度Es: