例7-3：正方形截面的烟囱如图7-4所示，烟囱由混凝土建造，边长为60cm，通道的边长为20cm，混凝土的导热系数为k=1.4W/（m·K）。假定烟囱内表面的温度为100℃，烟囱外表面暴露在空气中，空气的温度为30℃，传热系数为h=20W/（m²·K）。计算烟囱截面内的稳态温度场（参见《有限元方法理论与ANSYS应用》“Finite Element Method Theory and Application with ANSYS”，第279页）。

根据烟囱的换热边界条件，在烟囱截面内的热量传导具有对称性，可以建立四分之一截面的有限元模型。在这里，仍然建立整个截面的有限元模型。选择热分析单元PLANE55划分单元网格，内部边界的每条边上划分4份，外部边界的每条边上划分12份。在内部边界上定义温度边界（第一类边界条件），在外部边界上定义对流边界（第三类边界条件），定义边界条件后的有限元模型如图7-5所示。

图7-4 烟囱截面

图7-5 有限元模型

在内部边界上定义温度边界条件，选择Main Menu＞Preprocessor＞Loads＞Define Loads＞Apply＞Thermal＞Temperature＞On Lines。

选择内边界上的线段后，弹出在线段上定义温度的对话框如图7-6所示。在对话框中，将待约束的结点自由度定义为温度（TEMP），在“Load TEMP value”编辑框中定义结点温度，在这里为100℃。

图7-6 在线段上定义温度边界的对话框

在外部边界上定义对流边界条件，选择Main Menu＞Preprocessor＞Loads＞Define Loads＞Apply＞Thermal＞Convection＞On Lines。

选择外边界上的线段后，弹出在线段上定义对流换热条件的对话框如图7-7所示。在对话框中，在“Film coefficient”编辑框中输入导热系数，在“Bulk temperature”编辑框中输入介质温度。

图7-7 在线段上定义换热边界条件的对话框

烟囱截面内的温度场分布如图7-8所示，热流量矢量的分布如图7-9所示。热流量矢量方向验证了建模时的判断，热传导在水平和垂直方向上对称。稳态温度场分布与物体的初始状态无关，那么图7-8所示烟囱截面的温度分布是否与材料的导热系数相关？在烟囱壁内没有热源，截面上的温度分布满足Laplace方程，与材料的导热系数也无关。在本问题中，换热边界条件确定了截面上的温度场分布。(www.daowen.com)

例7-4：把烟囱的模型做些修改，假定烟囱壁由两层材料构成。内层材料为混凝土，外表面的截面尺寸为30cm×30cm，烟囱通道的尺寸不变，仍为20cm×20cm。外层用保温材料，导热系数为k=0.1W/（m·K），外部表面的截面尺寸不变，内部表面的截面尺寸为30cm×30cm。换热边界条件不变。

根据传热方向的对称性，取如图7-10所示的四分之一截面的有限元模型。仍然用单元PLANE55划分单元网格，由于烟囱截面由两层不同材料构成，在划分单元网格时要指定不同的材料属性。在内壁面上，每条边上划分4份；在外壁面上，每条边上划分12份；沿厚度方向上，内层划分2份，外层划分6份，采用四边形单元划分后的有限元模型如图7-11所示。双层烟囱截面的温度分布如图7-12a所示，热流量矢量分布如图7-12b所示。

图7-8 烟囱截面内的温度场分布

图7-9 热流量矢量的分布

图7-10 双层烟囱四分之一截面

图7-11 四分之一截面的有限元模型

图7-12 双层烟囱截面的温度与热流矢量分布

对比两种不同结构烟囱的温度分布和热流量分布，稳态温度场分布与材料的传热系数相关。内层材料的导热系数远大于外层材料，热量很快传进内层烟囱。双层烟囱外层材料的导热系数比较小，接近保温材料，向外部环境传热慢了很多，所以内层烟囱的温度很高。比较热流量分布，双层烟囱外表面的热流密度约为50W/m²，而单层烟囱外表面的热流密度约为200W/m²，保温材料的确能够有效地阻止热量散失。北方城市的供暖管道都包有一层隔热材料就是基于这个道理。