以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程为

整个区域被分为单元的集合，单元结点数为n，单元形函数为

N=（N₁N₂…N_n）

单元结点的温度为，T^e=（T₁T₂…T_n）^T

第一类换热边界条件为

T|_s=T_s （7-16b）

第二类换热边界条件为

第三类换热边界条件为

单元内温度分布的近似函数取为

这样构造的近似函数显然满足第一类换热边界条件，可以得到如下的加权积分公式，

由分部积分得，

应用Green定理，

式（7-17）可以写为

其中，(www.daowen.com)

通过分部积分和应用Green定理，降低了函数求导的阶次。

采用Galerkin方法，选择权函数为

在第二类换热边界条件的边界上温度变量不出现，边界条件自动得到满足，这类边界条件被称为自然边界条件（Natural boundary condition）。由于所选取得温度近似函数满足第一类换热边界条件，在边界上没有余量产生，这类换热边界被称为强制边界条件（Forced bounda-ry condition）。在满足第一类换热边界条件的边界上积分为零。

将用形函数表示的单元温度代入式（7-18）可以得到离散化的加权积分公式，

如果单元共有n个结点，取全部的n个形函数作为加权函数，写成矩阵形式有，

如果有限元模型的结点总数为m，式（7-20）是m个联立的线性方程组，可以确定m个结点的温度T_i。按有限元格式将式（7-20）表示为

KT=P （7-21）

式中，矩阵K为单元的导热矩阵或称为温度刚度矩阵；T为单元的结点温度向量；P为单元的温度载荷向量或热载荷向量（Thermal load vector）。

对于某个特定单元，单元导热矩阵[K]^e的元素为，

温度载荷向量{P}^e的元素为，

如果某个单元完全处于物体的内部，

通过以上的推导，用Galerkin方法得到了二维稳态温度场问题有限元法的一般列式。通过应用Galerkin方法，可以发现有限元法的应用并不局限于结构分析，可以应用到许多物理领域中。