弹性力学中的基本变量及其表示方法

时间：2023-11-07 理论教育 版权反馈

【摘要】：弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变。应力S在其作用截面上的法向分量称为正应力，用σ表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用τ表示。显然不能用应力分量来表示，也不能用某个主应力表示。应变可以理解为相对变形，无量纲。如图3-6所示，线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用γ表示。

弹性力学中的基本变量及其表示方法

弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变。

体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。

位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。

物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。

如图3-1所示，假想用通过物体内任意一点P的一个截面mn将物理分为Ⅰ、Ⅱ两部分。将部分Ⅱ撇开，根据内力平衡原则，部分Ⅱ将在截面mn上作用一定的内力。在mn截面上取包含P点的微小面积ΔA，作用于ΔA面积上的内力为ΔQ。令ΔA无限减小而趋于P点时，ΔQ的极限S就是物体在P点的应力。

弹性力学问题满足连续性假定，因此可以计算极限。应力S可以按照不同的方向分解成分量，例如按照坐标轴的方向进行分解，其中最重要的分解方式是按照截面的外法线方向进行分解。应力S在其作用截面上的法向分量称为正应力，用σ表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用τ表示。正应力和剪应力可以与材料强度相关联。

显然，如果通过P点的截面方向不同，P点在不同截面上的应力是不同的。以图3-2的等截面直杆为例，根据不同的截面方向可以得到不同的应力分量数值。为分析P点的应力状态，即通过P点的任意截面上的应力分量的大小和方向，在P点附近取出一个平行六面体，六面体的各棱边平行于坐标轴，如图3-3所示。将每个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。用六面体表面的应力分量来表示P点的应力状态。

图3-1 应力定义

图3-2 不同方向截面上的应力分量

剪应力互等：τ_xy=τ_yx，τ_yz=τ_zy，τ_zx=τ_xz

物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量σ_x、σ_y、σ_z、τ_xy、τ_yz、τ_zx来表示，如图3-3所示。

应力分量的下标约定如下：

图3-3 六面体上的应力分量

第一个下标表示应力分量的作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的作用方向。例如τ_xy，第一个下标x表示剪应力作用在垂直于x轴的面上，第二个下标y表示剪应力指向y轴方向。正应力由于作用表面与作用方向垂直，使用一个下标。例如，σ_x表示的正应力作用于垂直于x轴的面上，指向x轴方向。

应力分量正负符号的约定如下：

如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。

如图3-3所示，立方体顶面的外法线方向指向z轴的正方向，在顶面上的三个应力分量也都指向坐标轴的正方向。立方体底面的外法线方向指向z轴的负方向，在底面上的三个应力分量也都指向坐标轴的负方向。

如图3-4所示，用六个应力分量可以表示经过P点的任意斜面上的应力。

图3-4 任意斜面上的应力

根据力的平衡，可以到斜面上面力沿三个坐标轴的分量，

X_N=lσ_x+mτ_yx+nτ_zx(www.daowen.com)

Y_N=mσ_y+nτ_zy+lτ_xy

Z_N=nσ_z+lτ_xy+mτ_yz

其中，l，m，n为斜面外法线方向的三个方向余弦，即斜面外法线方向与坐标轴正方向的夹角的余弦，

l=cos（N，X），m=cos（N，X），n=cos（N，Z）

再利用力的平衡关系可以方便地求出斜面上的正应力，

σ_N^ΔS=X_NΔSl+Y_NΔSm+Z_NΔSn

σ_N=l²σ_x+m²σ_y+n²σ_z+2mnτ_yz+2nlτ_zx+2lmτ_xy

注意：在上面公式中，应力分量之间不存在平衡关系，而是力之间存在平衡关系。应力分量乘上其作用的面积就得到力。

物体内一点的应力分量数值与坐标系的方向相关，但是该点的三个主应力值不变。直观地理解就是应力分量随坐标系的定义方式而变化，但是物体内某一点的真实应力状态应该不随坐标系变化。那么一点的应力大小或应力强度应该如何表示？显然不能用应力分量来表示，也不能用某个主应力表示。可以用等效应力（Equivalent stress）表示物体内某个点的应力大小。用应力分量把等效应力定义为，