从二十世纪六十年代中期以来，有限单元法得到了巨大的发展。从最初用于解决结构分析问题、连续介质力学问题，有限单元法已经成功地应用在以下一些科学和工程领域。

1）固体力学领域，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析。

2）材料加工领域，包括金属体积成形、板料成形、焊接变形与残余应力、热处理过程组织转变与应力、凝固过程。

3）多物理场分析领域，包括传热分析、磁场分析、电磁耦合、声场分析。

4）流体力学领域，包括空气动力学，流固耦合。

5）生物力学，如关节、韧带的受力。

有限单元法为工程设计和优化提供了有力的分析工具。下面介绍不同工程领域的有限元分析案例。

图1-15～图1-17是桥梁与车辆相互作用分析的案例，用LS-DYNA软件计算了卡车通过桥梁时桥梁变形和车辆的受力情况。图1-15给出了桥梁与车辆的横截面尺寸，桥面由等间距六根纵梁支撑，纵梁的间距为2.4m。图1-16是桥梁有限元模型的局部。桥梁的混凝土部件用8结点或6结点的实体单元建模，钢筋用一维杆单元建模，桥梁中一跨的有限单元数目超过20.4万个。图1-17给出了车辆以80km/h速度驶过桥梁时，车辆后悬挂的瞬时等效应力分布（上图），车辆后悬挂受力随时间变化的历程（下图）。在后悬挂上装有两根车轴，所以在图1-17给出的后悬挂受力随时间变化曲线上出现了两个峰值。

图1-15 桥梁和载重汽车的横截面尺寸示意图

图1-16 桥梁的有限元模型局部

图1-17 等效应力分布与后悬挂受力

图1-18是用SYSWELD软件完成的焊接过程分析，图1-18a是T形接头多层堆焊的应力分析，图1-18b是框架结构的焊接变形预测，图1-18c是点焊的温度场分析。

用Deform软件完成的金属成形过程分析如图1-19所示。图1-19a是铝材挤压成形的数值模拟，在挤压成形的初期，铝型材产生了形状扭曲。图1-19b是挤压缺陷的数值模拟，由于在挤压过程中型材的中央部分金属流动的速度比较快，在中央部分形成了一个空隙。图1-19c是T形锻件实物与有限元模拟结果的对比。

图1-20是用DYNAFORM软件完成的金属板料成形分析。图1-20a是板料成形过程中的位移分布，图1-20b是板料成形过程中起皱位置的预测结果。图1-21是用AUTOFORM软件完成的汽车覆盖件成形工艺的模拟。图1-21a是轿车引擎仓盖的成形分析，图1-21b是轿车后侧围的成形分析。

图1-18 用SYSWELD软件完成的焊接过程分析

图1-19 金属成形过程的分析

图1-22是由ProCAST软件完成的铜质铸件凝固过程的模拟。图1-23是空心钢锭凝固过程中的温度场分布，用作者所在的课题组开发的有限元程序完成。

图1-24是用DEFORM/HT软件计算得到的，带偏置孔圆盘试样淬火过程的马氏体组织体积分数随时间的变化。图1-25a给出了圆盘淬火4.6s时主应力分布的模拟计算结果，图1-25b给出了实际工件的淬火开裂位置。与实际工件的对比表明，模拟计算得到的最大主应力位置与实际试样的断裂位置是一致的。

图1-20 金属板料成形的分析

图1-21 汽车覆盖件成形工艺的模拟

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图1-22 铸件凝固过程模拟

图1-23 空心钢锭凝固过程中温度场分布

图1-26是用LS-Dyna软件完成的重型载重汽车撞击路障的分析，上面一排是现场试验的照片，下面一排是相应的计算结果。图1-26a是0s时的状态，对应撞击即将发生的时刻；图1-26b是撞击后0.2s的状态；图1-26c是撞击后0.4s的状态；图1-26d是撞击后0.5s的状态。图1-27a是载重汽车框架的有限元模型，图1-27b是载重汽车整体的有限元模型，载重汽车整体有限元模型有16095个结点、15505个单元。图1-28a是混凝土路障的有限元模型的横截面，图1-28b是混凝土路障内的加强框架。F形混凝土路障的有限元模型有11845个结点和15703个单元。

图1-24 淬火过程马氏体组织体积分数

图1-25 淬火过程应力分布

图1-26 重型载重汽车撞击路障的分析

图1-27 载重汽车框架和整体的有限元模型

图1-28 混凝土路障的有限元模型

失去稳定性是薄壁结构的常见失效形式。图1-29是由ANSYS软件计算出的飞机机身壁板的后屈曲失稳的样式。图1-30是简化后的机身壁板边界条件，由梁单元和壳单元构成。机身壁板后屈曲的物理实验结果如图1-31所示。

这里介绍用有限元分析研究后十字韧带重建方案的实例。有限元分析有助于了解骨骼、关节等的受力情况，对制定外科手术方案有很大帮助。根据磁共振与CT扫描图像重建骨结构与韧带的三维几何模型，再划分有限单元网格得到膝盖部分骨结构与韧带的三维有限元模型，如图1-32所示。相对软组织，骨头的变形量很小，用刚性表面单元来建立骨头的有限元模型，用三维六面体单元建立软组织的有限元模型。韧带和膝盖骨上的腱当做非线性、超弹性材料，胫骨、股骨和膝盖骨上的软骨层当做均匀的各向同性材料。关节接触表面定义为库仑摩擦。用ABAQUS软件计算，膝盖由完全伸展到弯曲90°过程中胫股中室压力的变化。对比四种情况下胫股中室压力的

图1-29 机身壁板的后屈曲

图1-30 简化的壁板边界条件

图1-31 壁板后屈曲的实验结果

图1-32 膝关节骨结构与韧带的有限元模型

图1-33 膝盖弯曲时的胫股中室压力

变化：后十字韧带正常；后十字韧带断裂；只重构前侧韧带这一束韧带；重构前侧、后中韧带这两束韧带，如图1-33所示。在图1-33的四条压力曲线中，实线对应后十字韧带正常的情况，最高那条曲线对应后十字韧带断裂的情况，最低那条曲线对应重构一束韧带的情况。