物理学家是如何研究宇宙中物体的呢？有人会说是通过观测，没错，但这是第一步。若与研究历史相类比，观测天体只是在搜集史料，但更重要的是：要基于史料提炼出规律，越深层、越普遍的规律就越牛。物理学更是如此！物理学家基于观测数值，再利用直觉洞察力和数学工具，对所研究的系统建立数学方程，这个方程就会蕴含系统的运行规律。但要建立这个方程，首先要确立其中的物理量或数学量。

现在，为了研究四维时空中物体的运动规律，建立其微分方程，首先面对的是如何描绘四维时空的弯曲程度。好在黎曼几何提供了曲率这个概念，为爱因斯坦提供了攀登的云梯。

四维时空曲率的定义我就不说了，但我要告诉大家的是，四维曲率绝不是一个普通的算式，而是一个张量。

张量是继“度规”之后需要了解的又一个抽象概念。抛开张量去谈广义相对论、引力波，那都是在说相声、玩脱口秀。要了解张量，先要了解标量和矢量。标量很简单，就是只有一个分量，比如温度。此时此刻，这个地点温度是多少，你的回答就一个数：25摄氏度。这就是标量。

矢量，就是向量，它需要多个分量。比如你在爬山，妈妈电话问你在哪里。你若要认真回答，就需要建立一个三维直角坐标系，那么你在山上就会有一个坐标值（x，y，z），然后就可以准确回答家人了。x，y，z就是三个分量的矢量，其实就是位置矢量。但这里似乎应该再加一个分量——时间t。如果你和家人不是在通电话，而是在发电子邮件，你就应该告诉家人，你在几点几分的时候，处在（x，y，z）这个空间点上。这样，我们就构成了一个新的矢量（x，y，z，t），一个四分量的矢量，这不正是闵科夫斯基空间中的事件吗？

现在要说张量了。如果说矢量有四个分量的话，张量就是4×4个分量的矩阵。什么是矩阵？大家见过罗马方阵吧，横看一排一排，纵看一列一列，那就是一个矩阵。其实围棋盘也是一个矩阵，横着十九根线，竖着也是十九根线，相当于一个19×19的矩阵。现在说的张量是4×4个分量，那这十六个分量是什么呢？为了讲清楚这一点，笔者在此要构建一个生动而蹩脚的例子。

比如国家委托我构建一个刻画贪官的数学模型，我想了想，贪官无非具有四大特征——酒色财气，好像普通人也是这样的。好了，我找到了酒色财气四个分量来形容贪官。有人马上就反应过来，“酒色财气”只是一个矢量，怎么搞出张量呢？

大家想一想，仅仅用“酒色财气”衡量贪官，是不是把贪官简单化了？这四个分量之间是不是会互相影响、互相作用？比如酒和色之间的关系，或者有了财，是不是就会更有机会去“色”，“色”反过来又会激发贪更多的“财”，等等，这大家都懂。

现在我们需要把它们之间的关系表达出来，用酒色来表达酒与色的关系，用色酒表达色与酒的关系，用酒财表达酒与财的关系，等等，但不要忘了，还有酒酒表达酒与酒的关系。现在要问大家：酒色财气四个分量，互相排列组合会形成多少种配对？注意是排列，不是组合，所以一共形成了4乘以4等于16个排列，但这十六个排列如何展示出来呢？是不是写成4×4的方阵形式比较直观、比较漂亮呢？好，我们按方阵的形式写出来：

6-17 “酒色财气”矩阵

这个方阵，确切地说，这个矩阵，就是一个张量；也就是说，张量就是一个矩阵。这是一个衡量官员贪腐程度的矩阵。在这个张量或矩阵中，很多元素是对称的，比如酒色和色酒，就是一回事儿，可以认为是相同的。我们还可以发现，对角线上的元素都是自身和自身，酒酒、色色、财财、气气。

为了简化，我们可以考虑把酒酒记录成酒的平方，色色就是色的平方，以此类推。这样一来，在贪官矩阵对角线上的元素就是酒²、色²、财²和气²。

平方项矩阵

那么，怎么用这个模型去衡量一个贪官有多贪呢？当然是矩阵中的每个元素越大就越贪，但要考虑所有分量总的效应，就不太容易。因为每个分量在构成贪腐方面发挥的作用不太一样，所以权重就不一样，比如财色是不是要比财酒形成更大的腐败？所以需要配上不同的系数，来区分它们在贪腐上的贡献度。

也就是说，这里需要对腐败程度进行一个规定，也就是“度规”，这个“度规”决定了矩阵中的各个分量所给与的权重。

带权重的矩阵（a到q均为常数，不同环境常数的值不一样，常数代表每个分量在构成腐败方面发挥作用大小）

我们先看一种特殊的情况，一个平直社会中的贪官，这里的贪官很平很直，就是他们虽然也好酒色财气，但这四个分量之间不发生任何关系，贪财就是贪财，好色就是好色，二者之间不发生任何关联，也就是说就没有财色和色财这两项，或者说都等于0。而且他们的酒色财气在对贪腐的贡献方面都一样，所以权重都是1，或者说系数都是1。这就是平直空间中的贪官。如果这样的话，这个张量矩阵除了对角线以外，其他元素都成0了，而对角线的元素都是1。这就形成对角线元素都是1、其他元素都是0的矩阵。这个度规矩阵很简单，可以这样计算腐败程度：

平直社会的贪官矩阵

这个计算为什么简单，就是因为度规简单，没有出现交叉项。大家想想，如果出现了酒色、财气等交叉项，还要考虑配上不同的系数，那就太复杂了。

各位，看出来了没有，这不就是闵科夫斯基空间的度规吗？考虑到这桌大餐很多人不是一次吃完的，有必要把闵氏空间的度规再说一遍：两个事件的绝对间隔ds²＝dx₁²＋dx₂²＋dx₃²＋dx₄²，恢复原貌就是ds²＝dx²＋dy²＋dz²-c²dt²。所以闵氏空间的度规张量就是一个4×4的矩阵，一个只在对角线上有元素的矩阵。

当然爱挑毛病的读者会说，酒色财气四个分量中谁在对应时间t，怎么出现负号？其实这就是个类比嘛，干吗那么认真？仔细一想，各位亲爱的读者难道没发现，这“气”还真与酒、色、财三个分量不太一样；你说爱“气”的人，好像与是不是贪官真还有一点相反的关系。真正的贪官有啥好生气的？不就是多贪少贪的事吗？只有清官才爱义愤填膺，才容易悲愤。所以对于贪腐来说，这个“气”里还蕴含了负号。

说到这里，估计会有很多人产生这样的困惑。两个事件的绝对间隔直接规定为ds²＝dx²＋dy²＋dz²-c²dt²不就挺好的吗，为何非要把它对应到一个矩阵？而且矩阵只有对角线上有元素？是的，当年爱因斯坦也觉得闵老师是在故意玩数学游戏。但后来他明白了，一旦ds²中出现了交叉项，不用这个矩阵，数学上就没法处理了。什么情况下会出现交叉项呢？

再次回到刚才构建的酒色财气张量。刚才探讨了平直社会中的贪官，即酒色财气之间不发生相互作用。但如果他们处在一个弯曲社会，情况就不一样了。比如某个贪官，你平时给他行贿他不收，但你请他喝酒他就来。这酒喝着喝着，越喝越投机，你再递给他大红包，他就不拒绝了。说明什么？说明酒与财之间发生相互作用了，换句话说，贪官矩阵中酒财项就不为0，出现交叉项了，一个好好的平贪直男型官员就这样被拉下水了。总之，在弯曲社会，贪官也被“弯”了进来，很多交叉项就不为0了，那时的度规矩阵就不再那么简单，不但对角线上有元素，其他位置也会出现非0元素。这些交叉项说明，贪官处于弯曲的社会，酒与色之间、酒与财之间、财与气之间都会互相影响、互相作用。

换到物理中的弯曲时空，两个事件的绝对间隔ds²的表达式就会出现dx₁与dx₂的交叉项dx₁·dx₂，也会出现dx₂与dx₄的交叉项dx₂·dx₄等等。数学上有一个简单的表示方式，就是：

ds²＝G_μνdx^μdx^ν

μ和ν都是希腊字母，分别表示从1到4。为啥不用英文字母来表示呢？比如用m和n分别表示从1到4多好？这其实就是习惯，μ、ν一用，广义相对论的范儿就出来了。刚才那个表达式ds²＝G_μνdx^μdx^ν就是要让dx₁，dx₂，dx₃，dx₄全都互相乘一遍，而且还带了权重G_μν。

大家一定要牢记：弯曲的四维时空的度规张量就是一个4×4的矩阵，也就是说是个二阶张量；因为是二阶张量，所以要用两个下角标μ、ν，所以度规张量就可以表示为G_μν来表示。

说了半天，度规张量到底是什么？这是最关键的。其实它就是在一个坐标系中描述一段很短线段长度的二阶张量。换句话说：度规张量定义了一个坐标系如何度量曲线的长度。具体到三维空间，就是度量两点之间长度的规矩；具体到四维时空，就是用来衡量两个临近事件之间的间隔。(www.daowen.com)

事情到了这个地步，不要忘记我们的阶段性目标是什么，就是要找到四维时空曲率。大家可以想象，四维时空曲率的数学形式是极其复杂的，复杂到我们刚才说的矩阵都没法描绘它，得是一个超级矩阵。

还记得刚才那个贪官矩阵吧。回忆一下，贪官模型为什么要搞成一个4×4的方阵，因为酒、色、财、气四个分量之间可能会有互作用，从而形成酒色、财色等交叉项。真正精于此道的读者，应该发现这个模型还是不够完善，因为矩阵中没有体现出三个分量之间发生互作用的情况，比如酒、色、财三者之间是不是也会互相激励、互相激发，出现酒色气、色财气等等。但这些元素怎么放入平面矩阵？没法放入。怎么办？可以搞出一个立方阵，就是那个魔方一般的棋盘，即4×4×4×4的矩阵，我们把它称作三阶张量，原来的平面矩阵是一个二阶张量。

估计有人已经在想四阶张量了，非常好。现有的矩阵元素中没有体现出酒色财气互作用的元素，所以还需要搞出一个4×4×4×4的超立方体的矩阵，这就是四阶张量。

我们用酒色财气打比方，为大家引入了二阶张量、三阶张量、四阶张量，很生动，易于接受，但心里我们必须明白这是一个比方，其实其还有很多严格的数学要求，这里就不说了。

总之，四维时空中很多物理量非常复杂，需要用张量这种形式来表达。而四维时空中的曲率正是一个四阶张量，它就叫黎曼曲率张量，以R来表示，后面还是简称为曲率张量或曲率。曲率是四阶张量，意味着它是4×4×4×4的一个超级矩阵，一共有4的4⁴方个元素，就是256个元素。

这听起来实在有点儿玄乎，但我们心中对曲率就会有一个直观的感觉，它就是描绘时空弯曲程度的，这让我们心中很温暖。

虽然我们没有必要了解曲率张量是如何定义的，但有必要了解这样一个事实：曲率张量R的公式中包含了度规G；具体来说，曲率张量R完全由度规张量G_μν及其一级和二级导数所构成，因为是四阶的，所以R下面带了四个角标。导数就是变化率，在第二章中有介绍。曲率张量R就是由度规和度规的导数构成的。这也意味着，一个空间如何衡量两个邻近事件的间隔，就决定了这个时空的弯曲程度。或者简单地说，度规决定了曲率。

好了，费了九牛二虎之力，终于把四维时空的曲率张量引出来了。刚才先说了标量，就是只有一个分量，比如温度；又说了矢量，就是有一列分量，比如位置矢量（xyz），比如事件（xyzt）；再说了二阶张量，就是一个矩阵，比如度规张量；拓展到了三阶张量，可以理解为一个立方阵，四阶张量可以理解为超立方阵。黎曼曲率张量就是一个四阶张量，如果它其中每一个元素都是0，说明时空是平直的。换句话说，曲率等于0，意味着时空是平直的，曲率不等于0，时空就是弯曲的。

现在笔者有一个重要的事情要宣布：张量是一个好东西，因为张量不依赖于坐标系的选择，或者说在任何参照系下都具有相同的数学形式。那又怎么了？这正是爱因斯坦对物理量的追求，满足广义相对性的要求；而曲率是一个四阶张量，说明它是空间内在的性质，并不受到坐标系选择的影响。

获得了黎曼曲率张量，是爱因斯坦在构建方程的道路上走出的重要一步。

现在有了曲率张量——一个描写时空弯曲程度的数学概念，但它同时也是一个物理量，因为是物体质量导致时空弯曲的。根据狭义相对论的一个副产品E＝mc²，我们晓得质量和能量其实是一个东西的两个不同状态。所以更严格地应该说，是质量和能量导致了时空弯曲。

也就是说，有多大的质量和能量，就会导致时空有多弯曲，这不正是一个等式关系吗？物理学就是要寻求反映各种规律的等式方程。那么这个预想的等式中，一侧应该是表达质量和能量的，它们是导致时空弯曲的元凶；另一侧应该是曲率张量，它是时空弯曲的体现。这个想法太美妙，太具有突破性了。

但是这里有个障碍，曲率张量是一个四阶张量，质量能量就是几个分量，怎么和高、大、上的四阶张量进行对接呢？于是爱因斯坦开始拼凑。也就是说，爱因斯坦必须要将质量和能量也写成张量形式，才有望与曲率无缝对接，否则就是牛头不对马嘴。

质量和能量属于物理学问题，所以爱因斯坦拼凑这个张量还比较顺利。我们也来瞧一瞧是怎么弄的。

首先，爱因斯坦锁定，由能量和动量来构建这个张量。能量E只有一个分量，而动量p有三个分量，因为动量等于质量乘以速度，速度就有三个分量V_X，V_Y，V_Z，所以动量p也有三个分量p_X，p_Y，p_Z。大家都知道，能量和动量都是守恒的，但是它俩的数值要依赖于参考系。就说能量吧，比如手上拿的手机，它的能量是多少？E＝mc²，也就是说，手机的能量是它的质量乘以光速的平方。但那是在你看来是这么大，另外一个坐在火车上的人在你面前飞驰而过，在他看来你的手机能量更大，因为他觉得你的手机在向后运动，所以他觉得你手机的能量是E＝mc²＋动能。就是说能量的大小是依赖于参照系的，这就达不到广义相对性的要求，爱因斯坦要求真正的物理量是不依赖参照系的。但是，动量也是要依赖于参照系的。

非常神奇的是，一旦我们把单独的能量E和三个分量的动量p组合在一起，就可以形成一个四维矢量，我们称之为能量动量矢量。其实这样的拼凑还是很有道理的，能量E表达了物体的存在，而动量表达了物体的存在状态，它俩和在一起正是表达了物体的存在和存在状态，我觉得用英语中的Being来表达特别好。

其实狭义相对论不只是将空间和时间视作了一个整体——时空，也同时将动量和能量视作一个整体——能量动量矢量，就是不知道它俩啥关系。

现在爱因斯坦猜到了是物体的存在导致了时空的弯曲，那还等什么？赶快让表达时空弯曲的曲率和表达物体存在的能量动量发生联系啊。也就是说：建立两者相等的方程。

但问题是黎曼曲率张量有4×4×4×4＝256个分量，而能量动量矢量只有四个分量，还是没法匹配，怎么办？

爱因斯坦首先对能量动量矢量拔苗助长，让它从矢量变成二阶张量，也就是从一列变成一个方阵、矩阵。怎么变？爱因斯坦借鉴电磁学，将能量密度、动量密度、能量流、动量流之类，搞出了一个4×4的矩阵，也就是说把能量动量矢量升级了，变成了能量动量张量。

但是，能量动量还只是一个二级张量，而曲率张量是个四级张量，还是不对等，怎么办？有人说再拔高能量动量张量，这个真没法拔了，再拔就拔断了。拔高这一头不行，那就打压另一头喽。

这时候，估计有人替爱因斯坦捏了一把汗，因为他数学不行啊，这另一头是曲率张量，是个很数学的东西，怎么办？这还真不用操心，早就有人给爱因斯坦递上了一个高低正好合适的枕头。

有一个叫里奇的数学家研究了黎曼几何，发现曲率张量可以进行缩并，经过一番研究，直接把四阶的曲率压缩为了二阶的张量，这个压缩后的张量就叫里奇张量。为啥能压缩，原因很“数学”，但我们用贪官矩阵就能理解，那里很多元素是对称的，比如酒色和色酒，这两个元素是一回事，就可以压缩为一个元素来表达。但需要记住一点，原本的曲率张量R完全由度规张量G_μν及其一级和二级导数所构成，所以压缩后的里奇张量仍然是由度规张量G_μν及其一级和二级导数所构成的。

回到主题，正当爱因斯坦纠结于方程无法实现对接而惶惶不可终日之时，他翻阅到了里奇的论文，大喜过望，直接就把曲率张量压缩成了里奇张量。爱因斯坦真应该好好感谢里奇，要是没有里奇，他不知道要在拼凑路上再走多久；里奇也应该感谢爱因斯坦，若广相不用这个概念，里奇张量就纯粹是个数学游戏，不会取得今天的地位。

好，至此为止，表达时空弯曲的曲率张量已经压缩为二阶的里奇张量，引起时空弯曲的质量能量也提升为二阶的能量动量张量。现在就是要寻找它俩之间的等式关系，一旦找到，广义相对论就大功告成了。

临门一脚，爱因斯坦再次遭遇强大阻力，这一回又是谁拯救了这位总是翘掉大学数学课的同学？