爱因斯坦构建广义相对论的过程极其艰辛，用了八年时间。为何用了这么长时间？一则是其本身的物理目标特别宏大，要达到广义相对性的要求，要在任何坐标系中实现数学形式的等价性；再则是所用到的数学工具极其复杂艰深，已经逼近了爱因斯坦智商的临界点。好在爱因斯坦凭着执著和坚持，终于将之搞定，我觉得这里应该有掌声。若非八年坚持，哪里有引力波预测？

广义相对论是关于引力场的理论，因此其最大的目标就是改造牛顿的万有引力公式。在狭义相对论看来，万有引力公式最大的问题是，其分母上的距离平方会依赖于参照系的选择，不同参照系会因尺缩效应观测到不同的距离。而爱因斯坦的目标是：建立一套不依赖于参照系选择的引力方程，也就是说它在任何参照系下，无论惯性系还是非惯性系，这个引力场方程都有相同的数学形式。

但这个引力到底如何处理？爱因斯坦又想起了伽利略，想到了比萨斜塔，为什么两个不同质量的铁球会同时落地，就是把铁球换成金砖、银弹、铅球也会以同样的方式、同样的加速度去落地。小爱进一步又想：若在真空中斜抛一个物体，无论是煤块、木块还是豆腐块，只要抛射角一致、初速度也一样，它们画出的空间轨迹也是完全一样的抛物线，这是怎么回事？这不就说明物体在引力场的运动方式与物体本身的性质无关吗？那和谁有关？这些相同的轨迹都是在空间中划出来的，那就一定和空间的几何有关。笔者在这里说得很轻巧，其实一般人真想不到，爱因斯坦以其非凡的直觉洞察力得出判断：引力其实是一种几何效应。这个想法特别大胆，而且极具创造性，这不是仅仅靠“二”能产生的，更不是靠理性的逻辑推理所能运作的。我们现在可以通过“马后炮”式的分析去理解它。

6-12 爱因斯坦关于引力的大胆猜想

大家想想，我们在中学学过的平面几何、立体几何，老师在黑板上画出一根线时，有没有说这是金线还是棉线？画出一个立方体时，有没有说这是木头块还是豆腐块？没有。为什么？因为这是数学，不与物质本身发生关系，是一种纯粹的几何。所以说，当爱因斯坦发现，各种物体在某个引力场中的轨迹线完全一样时，马上脑洞大开，觉得这就是一种几何。引力场就是浮云，这不过是一种几何效应。

那么斜抛物体为何会展示抛物线呢？因为时空是弯曲的，是地球的质量令周围的时空弯曲了，物体在弯曲的空间只能弯曲着走。按照这种思路，就可以解释为什么地球一直按轨道绕太阳转，因为太阳质量是地球质量的三十三万倍，把周围的时空搞得很弯，弯得地球只能绕着它转悠，乐此不疲。

这里不妨把前面讲过的滚床单例子再说一遍。四个人扯平一个没有摩擦力的床单，在其上滚动一个玻璃球就是匀速直线运动。现在，我们在床单中央放一个铅球，床单是不是就被压弯了？这时你再滚动一个玻璃球，它就会绕着铅球转，因为床单形成了一个弯曲的空间。我们感觉玻璃球此时在走弯曲的路线，但是对玻璃球来说，它自己就是在走直线。这是怎么回事？这里要展开一下。

就拿飞机的航线来说。十多年前，我经常在温哥华和北京两地飞来飞去，一开始我很纳闷，飞机为什么不走直线距离，老是绕着走，难道它是想多收费吗？大家可以看一眼世界地图，北京在温哥华的西侧，稍稍偏南一点儿。所以我在温哥华一上飞机，就想着飞机应该向西南方向飞才是直线距离，但发现机舱屏幕上显示，飞机是在向西北方向飞，一会儿到了阿拉斯加，一会儿又穿越了白令海峡。飞行员难道吃错药了吗？但每次回北京，都是这个航线。是不是为了避免撞机才这样？事实上，我错了，无知真可怕，飞机这是在走最短的路线。地球是圆的，地表是个弯曲的空间曲面，不是我们在地图上看到的那种平面。大家若有地球仪的话，一眼就能看明白，距离赤道越近的地球越往外鼓，距离北极、南极越近的地球表面越收缩，但投影到平面地图上后，这一点就被歪曲了。所以从温哥华起飞的飞机要向北飞，因为越往北，地球表面距离越窄小，距离越近。

6-13 球面上两点间最短距离的轨迹，铺成平面来看是一条曲线，而不是直线

说得再确切一些。在地表上，连接温哥华和北京这两个点的曲线有无数条，走哪条线路最近呢？就是走连接这两个点的地球大圆。大圆，大大的圆。就是这两个点与地心所形成平面在地表上截出来的圆周，沿着大圆周走，就是两点之间最短的距离，对于飞行员来说这就是直线。但这条直线在二维空间的投影却成了弯曲的，所以在平面地图上就会显示出一个向北极方向弯曲的曲线。

所以，无论床单上是否放了铅球，对于滚床单的玻璃球来说，它走的都是短程线，是最短的距离。而短程线的样子是由床单的几何形状所决定的，但是床单的几何形状又是由铅球的质量所决定的。这就是质量造成了空间弯曲，空间弯曲反过来指挥物体的运动。

但是，床单只是一个二维曲面，这不过是一个生动的比喻而已，我们真正要面对的是四维时空。

一说到四维时空，大家想到了谁？是谁第一次将时间和三维空间融合为一体？将物理世界视作四维时空，是爱因斯坦的老师闵科夫斯基。现在我们又要麻烦闵老师登场了。

在三维空间，每个坐标点都表示为（x，y，z），而且经典物理学认为，三维空间的距离ds²＝dx₁²＋dx₂²＋dx₃²是坐标变换下的不变量，但狭义相对论将它推翻了，告诉我们会有尺缩效应，运动中的尺子长度会收缩。现在，我们拥有了闵科夫斯基引入的四维时空，每个坐标点就是（x，y，z）再加上时间t，它代表什么？时空中的一个点，也就是有时间和地点，你说代表什么？代表时空中的一个事件，闵科夫斯基将之称为世界点，两个世界点之间的距离，也就是两个事件之间的间隔即ds²＝dx₁²＋dx₂²＋dx₃²＋dx₄²。当然这是经过闵老师调整之后的公式，恢复其原貌就是ds²＝dx²＋dy²＋dz²-c²dt²。这个事件间隔是洛伦兹变换下的不变量，也就说，无论在哪个惯性系下观察这个事件间隔，其数值都一样。于是闵老师将之称为绝对间隔，它就相当于三维空间中两个点的直线距离。

世界点一运动，划出一条线，这条线就叫作世界线。想象一下，四维时空中一个事件随着时间的流逝划出一条世界线，好抽象。

我举个例子，大家马上会有体会。首先我们要画一个笛卡尔坐标系，就是相互垂直的X轴、Y轴、Z轴，但是别忘了还有时间轴T。怎么画？三个互相垂直的XYZ轴，这谁都会，但要再画一个垂直于XYZ轴的T轴，这谁也不会，毕加索也不行，怎么办？我们理解多维时空的一个办法，就是将之投影在三维时空，甚至投影在二维时空。现在假设读者要么静止不动，要么沿着X轴运动，这样的话我们就没有必要在纸上画出Y轴和Z轴。明白了这一点，我们就可以在纸上画出一条横线作为X轴，再画一条垂直线作为T轴，这就是一个二维时空。而且，读者就在这个二维时空之中，你的世界点开始于原点，也就是x＝0、t＝0的那个点。现在开始计时，你完全静止不动，你的世界线是一个什么样的轨迹？你静止不动，是说你在空间位置上不动，所以你保持了x＝0的状态，但是时间在流逝，你的世界点在时间轴上一直在行进，所以你的世界线就是那个时间轴。

现在，你要重新开始走世界线。这一回，你就不是静止在那里了，而是沿着X轴匀速地往前走，那么你的世界线是什么样的？你在X轴方向进行空间的行进，同时你在T轴方向进行时间的行进，两个综合一起，你走出的世界线就是一条斜线，一条处于X轴和T轴之间的一个斜线。这就是你的世界线。如果你不是匀速走的，而是有加速度，这个世界线就是一条曲线。如果你在二维时空中明白了这个道理，不妨再把Y轴和Z轴加进来。此时T轴就没有地方放了，你就想象时间永远指向你纸面的上方。然后，你随心所欲地在整个空间走来走去，但是时间的箭头一直指向前方。是的，世界线永远从过去走向未来，这条蜿蜒的世界线就是一个人、一个物体的整个生命史。

6-14 一维空间的世界线(www.daowen.com)

我们现在来画地球的世界线。地球绕着太阳转，我们以太阳为坐标原点，这就相当于太阳在空间位置上没动，但它会沿着时间轴画出一个直直的世界线。而地球一方面要沿着时间走，同时还要在空间中绕着太阳转，而太阳的世界线就是时间轴；所以地球应该是以太阳的世界线为中轴，螺旋般地绕着时间轴向前行进。如果画在纸面上，就是太阳沿着向上的时间轴在走，地球环绕着时间轴螺旋式地向上走。这就是地球的世界线。

有人说，地球这样走累不累？不累。为什么？不是因为月亮妹妹在凝视着它，是因为它走的就是短程线，对它来说这是最省劲的路线。宇宙万物都不傻，都会选择最短的路径来行进，除非有外力干涉。我知道马上会有人来反驳我：地球不正是受到太阳引力干扰，才那样螺旋式地走的吗？如果你真的这样想，你已经落伍了，爱因斯坦已将引力转化成了弯曲的时空。哪里有什么引力，引力是你的错觉，其实那是弯曲的时空。地球在弯曲的时空是不受干扰的，它以最方便、最省劲的模式走了短程线，只不过在我们三维空间的人看来它走的是椭圆罢了。

6-15 太阳和地球的世界线

读到这里，肯定有朋友恍然大悟，原来牛顿与爱因斯坦就是用两个等价的方式来刻画宇宙的规律，一个是引力，另一个是弯曲时空。真的等价吗？若果真等价，狭义相对论还会取代牛顿力学吗？引力波还会让爱因斯坦去预测吗？大家想一想，到底哪里不等价了？在闵科夫斯基空间我们明白，时间和空间已经融为一体，一旦空间弯曲，时间也必然弯曲，时空之间互相影响，这是牛顿绝对时空观所无法想象的。所以弯曲时空与牛顿引力概念的关键区别在于，时间是否与空间发生相互作用。

但是，我刚才在讲地球的世界线时，并没有脱离万有引力的枷锁，将之完全几何化。面对爱因斯坦的重大任务，就是要用一套几何的语言来替换引力。

有人会说，他老师闵科夫斯基已经给他准备好了，就是闵科夫斯基空间（下文简称“闵空”）。但闵空是闵老师为了整合狭义相对论而提出的，在狭义相对论中不考虑引力，虽然闵空增加了时间轴，但仍然是一个平直的空间，并不能描绘弯曲的时空。估计有人不解了，平直的空间里可以放入曲面，为什么不能用呢？道理是这样的，地球是圆的，地表就是个圆面、曲面。尽管可以放在平直的空间去看待它，但问题是，若让你从北京走到莫斯科，你准备怎么走？刚才我们讲过，选择大圆上的弧线。但是，按照欧氏几何就是：两点之间直线最近。难道你准备挖一个直线的地道，从紫禁城通向克里姆林宫吗？或者你从北京坐飞机去纽约，非要走平直空间的直线，就算飞行员答应你，你问问地球答应不？难道地球会为你张开一个虫洞吗？所以在这里，欧氏几何或闵氏几何都束手无策了。所以对于曲面几何，必需一个新的几何学。

对于爱因斯坦来说，要将引力转化为弯曲的四维时空，需要四维的弯曲几何，他直接就晕了，因为他数学不行。要是牛顿面临这个情况，就会直接建立一套他要用的数学体系，就如同他当年要研究变速运动，就直接建立了微积分一般。此时的小爱或许有点后悔上大学时不好好听数学课，更加怀念闵老师了。斯人已去，但同窗仍在，他就去找同班的格罗兹曼；格同学一听，脸上露出怪怪的微笑，说道：“还真是刚出来了一门几何学，专门是研究弯曲空间的；不过，就凭你那数学功底，你够呛能看懂。”这格同学真是小看爱因斯坦了。现在我们知道这个新出来的几何学就是黎曼几何，是由罗巴切夫斯基、里奇、黎曼等人创立的。爱因斯坦如获至宝，回去钻研了一通黎曼几何，结果是，套不进他自己的理论，爱因斯坦果然是“够呛”。

大家想想为什么？除了爱因斯坦数学不好以外，还因为黎曼几何只是一个弯曲空间的几何，而爱因斯坦要的是弯曲时空的几何，这是不太一样的。因为时间轴毕竟和空间轴有区别，在闵空中，绝对事件间隔是ds²＝dx²＋dy²＋dz²-c²dt²。也就是时间轴为这个不变量带来了一个负号，这是黎曼几何没有考虑的。因为黎曼一帮子人是为了数学的兴趣而缔造的弯曲空间的几何学，不是为相对论量身打造的，所以爱因斯坦想穿戴黎曼品牌，老是套不进去。

可以说，此时爱因斯坦的智商已经到了临界点。他在给朋友的一封信中这样写道：“在我的一生中，还从来没有这样艰难地奋斗过，而且我对数学充满了敬佩，它那精妙的部分至今在我简单的头脑中还只能是一种奢望！同这个问题比起来，原先的相对性理论（狭义相对论）不过是儿童游戏。”

现在我要讲黎曼几何了，各位肯定有不理解之处。但有人说，既然爱因斯坦都穿戴不了黎曼品牌，你还讲黎曼品牌干啥？小爱最终还是穿进去了，因为他后来得到一位高人的点拨，大家可以猜猜这个人是谁。

好了，接着讲黎曼几何。首先，要明确目标，就是要把引力转化为几何效应，用弯曲时空来替代引力。我们说，越大的引力对应着越弯曲的时空，所以需要一个数学量来表达弯曲的程度。大家一定要明白，数学和物理是定量的学科，不能只说大小，要说多大多小。同时，两门学科对定义的要求极高，尤其是数学，对定义到了极其苛刻的程度。我们现在就是定义一个数学概念，让它来描绘空间弯曲的程度，它的名字就叫曲率。

对于曲率，我们还是有直观上的感觉。从最简单处开始说，比如沿着圆周走，走上一段后就会感觉到它的弯曲。那么请问，半径越大的圆弯曲得越厉害，还是半径越小的圆弯曲得越厉害？这不难回答，当然是越小的圆弯曲得越厉害。比如圆的半径只有5米，走上两三步就能感受出弯曲，但如果半径是1千米，得走上一二百米才能感受到弯曲。如果圆的半径是10亿千米呢？你走完一生，都误以为是在走直线。所以古人为何以为地球是平的？就是因为地球半径太大。

好了，现在可以给出圆周的曲率定义了。大家可以先画一个圆，然后在圆周上选取两个邻近的点A和B，那么AB两点之间就夹了一段圆弧S；然后在A点和B点分别做切线，这两条切线就会相交，形成四个夹角，因为对顶角相等，所以就是两种夹角，我们现在要选取的不是对着圆弧的夹角，是另一个夹角，将它记录为θ，那么曲率就定义为夹角θ除以弧长S。我们用R来表示曲率，那么R＝θ/S。大家会发现，若两个点AB弧长相等，则越大的圆夹角θ越小，说明大圆的曲率很小；相反越小的圆则夹角θ越大，说明曲率很大。如果得出相反的结论，一定是把夹角选错了，不是对着圆弧的夹角。这就是圆弧的曲率定义，它可以推广到任何平面曲线上。

6-16 一维的圆弧的曲率定义

现在升一级，二维曲面的曲率咋定义？先给大家一个直观的二维曲面印象。想象一个用橡皮做的围棋盘，正常情况当然是一个平面，这时一个顽皮的孩子上去就把它弄弯曲了，这就成了一个二维曲面，棋盘上横竖的交叉线也跟着弯曲了，那这个曲面也应该有曲率，怎么定义？再想象一下立体围棋，相当于一个魔方，还是橡皮做的，正常的情况它是一个立方体，里面横竖上下的交叉线都是直的，换句话说，它是一个平直的空间。但那个顽皮的孩子又来了，把这个魔方一般的立体围棋盘弯来弯去，整个立方体三维空间就弯曲了，它也对应一个曲率，又如何定义？是不是觉得脑汁有点不够用了？但还没完，还要把魔方立方体变成四维的，而且第四个维度还是时间，这就已经超出人脑结构所能想象的了，但我们还要把它弄弯曲，然后定义它的曲率。现在明白为什么爱因斯坦都有点控制不住了。

但爱因斯坦是个有福之人，他搞不定的地方总是有人为他铺路，为他铺下通向引力波的道路。让我们沿着爱因斯坦的道路继续前进。