一、混沌是什么？

非专业人士会把混沌（Chaos）按字母意思来理解，认为它就是乱七八糟，一团乱麻；甚至内行人也会仅仅因为混沌具有不可预测性，而误认为它纯粹是随机的，这都是完全错误的观念。

1．混沌的本质

混沌表面是随机的，但实质仍是确定的，就如掷硬币，其落地的正反面从表面上看是随机的，但实质上你抛掷的力度、速度、角度，以及当时的气流和地面状态等等，已经完全决定了其正反面，只不过人无法全面搜集和分析这些信息，以至于造成了随机的感觉。而混沌因为对初值的敏感性，只要略微差一点，结果就会截然不同，也给人以随机感。就像硬币抛掷方式差一点点，正反面截然不同一样。

所以说，混沌只是摧毁了决定论中的可预测性（人类对系统初值的测量再精密，也只能达到有限的位数），但并未摧毁决定论中的确定性。也就是说，人类预测不了未来，但并不等于未来不是确定的。按照牛顿、麦克斯韦的经典理论和爱因斯坦的相对论，这个世界的未来依然是确定的；而混沌告诉我们，虽然确定，但你建立的数学模型再完善，采集到的初始数据再精密，对长期的未来依然无法预测。

所以，物理学家福特说：“相对论除去了绝对空间与时间的幻想，量子力学扫清了可控测量过程的牛顿梦，而混沌学则宣告了拉普拉斯决定论式可预测性的幻灭。”

1-3 掷骰子的结果真的是不确定的吗？

但是在自然科学领域，要说混沌现象的发现与相对论、量子力学一起，被誉为20世纪物理学的三大革命，就是过誉了，混沌岂能和相对论及量子力学相媲美？量子力学才真正冲击传统物理学的决定论，提出了“上帝掷骰子”的说法。

混沌只是教训了一下自负的科学家，如冯·诺依曼试图通过强大的计算机来进行准确的天气预报，甚至控制天气。这冯·诺依曼——计算机之父，人类历史上最大的天才，很狂妄啊，你当你是诸葛孔明啊，还能借东风？

如果说蝴蝶效应只是混沌的皮，我们现在来尝尝混沌的馅。这馅表面上看是一团乱麻，其实里面有着超乎想象的精致奇异的内涵。

二、奇怪吸引子

还是以洛伦兹模型为例，三个微分方程，三个变量，用三维空间来画三个变量的轨迹。本来我们预想着这么简单的一个方程，其轨迹应随着时间的流逝，渐渐趋向一个稳定点或一个封闭曲线，即有一个稳定的解。但实际上，这些点的轨迹渐渐趋向一个区域，却永不相交，轨迹形成了一个奇怪而明确的图案，像三维空间的一对旋涡，点从一个旋涡到另一个旋涡来回跳动（又仿佛是一对蝴蝶的翅膀）。我们把这个混沌区域称为奇怪吸引子，其结构复杂，有无穷的纵深，任何小的部分放大后，都与整个图形类似，此所谓“自相似性”。

1-4 奇怪吸引子

自相似性就是局部特征与整体类似。这是大自然的一种普遍现象：锯下树干上的一个树枝，发现其构成与一棵大树类似；再观察其上的细枝条，在更小层次上，还是具有大树的构成。西兰花更是一个典型的例子，我们可以看到西兰花一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们都具有自相似的外形。换句话说，较小的分支通过放大适当的比例，可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇。

奇怪吸引子的维度具有分数维。分数维是什么意思？大家都知道，我们活在三维空间，点是零维的，线是一维的，面是二维的，立体是三维的，能想象有个东西是一点八维或二点五维吗？奇怪吸引子就是分数维，好奇怪啊，不可思议啊。其实不难理解，有限的曲线当然是二维的，但奇怪吸引子在一个有限区域无限奔走，且永不相交，近乎要填平整个三维体，但又始终未填满，故其维度介于二维和三维之间。

三、虫口模型

现在我们来看一个普通的系统如何变成混沌系统，通过介绍一个描绘生物种群数量涨落的数学模型来说明。

1976年，美国生态学家梅（R．M．May）在《自然》杂志上发表了一篇重要文章——《简单数学模型可导致非常复杂的动力学特性》，在其中提出了Logistic数学模型，其最简单的对应就是虫口模型。

所谓模型，就是对实际的简化，以便于进行研究。虫口模型具体是这样的：有这样一种昆虫，每年夏天产完卵后就全部死亡了，到来年春天每个卵就孵化为虫，就这么简单。可以想象，当产卵数大于一定数值时，虫口数量就会迅速增加，就会去争夺有限的食物和生存空间，这种竞争反过来又会导致虫口数目减少。综合这两种因素，最终得到虫口映射：

X_n＋1＝rX_n（1-X_n）（n：1，2，3，4…∞）

公式中X_n为第n代相对虫口数，X_n＋1为第n＋1代相对虫口数。什么叫相对虫口数呢？假设某个独立环境能够承受的虫口数上限为N₀，第n年虫口数为N_n，则可定义相对虫口数X_n＝N_n/N₀，显然X_n≤1，即：X_n∈[0，1]。(www.daowen.com)

r为生殖增长率，取值范围在0到4之间，即：r∈[0,4]。（若r＞4，模型就会发散）

我们一旦选择固定初值X₀和固定的r值，就可以进行迭代了。所谓“迭代”就是反复重复同样的运算，以上一次的结果作为下一次初值，反复进行同样的运算，每迭代一次就往前推进一年；当迭代次数很大时，也就是当n→∞时，看看虫口数X_n会演化到一个什么样的状态，也就是会收敛到什么范围。

也就是根据X_n＋1＝rX_n（1-X_n），知道X₀就可以算出X₁，由X₁又可以算出X₂，以此类推，就可以把虫口在未来任何一年的相对数量都算出来，这就是所谓迭代算法。这种看似很麻烦的方法，计算机最擅长，让计算机迭代几千次、几万次，也是小菜一碟。

我们可以取不同的初值X₀，r分别取以下数值，当迭代次数足够大时，将会得到以下结果：

当参数r＜3时，年复一年之后的相对虫口数量会逐渐稳定下来，也就是X_n会到达某一个固定数。无论开始的数目是多少，这个固定数随参数r的增加而增加，在图像中表现为徐徐上升。这一点是我们预料之中的。

1-5 虫口映射：倍周期分叉图通向混沌（横坐标是r，纵坐标是X_n，n要足够大）

但是，当r＞3时，情况就发生了奇异的改变：

当r＝3.45时，虫口数X_n不再趋向于一个固定的值，而是在两个不同固定数之间来回跳跃，按年份交替，即发生了分叉。

当r＝3.50时，分叉两端又各自形成两个新的分叉，即虫口数X_n每过4年会有规律地涨落，最终在4个固定数间周而复始地跳来跳去，即为4周期。

当r＝3.55时，再次出现新的分叉，变为8周期；随着r的不断增大，分叉越来越多，周期按2m增加，即所谓“倍周期分叉”。

一旦当r＝3.57，则分叉周期趋于无穷大，最后的迭代结果为无穷多不同值，也就是虫口数量有无穷多种可能，完全无法预测，即出现了混沌。

总之，如上图所示，当参数r小于3时，虫口模型是一个正常的系统，虫口数量会趋于一个确定的值，但随着参数r的增大，虫口数目会出现周期性的一次次加倍，即所谓“倍周期分叉”，最后再由倍周期分叉进入混沌状态。

四、回到蝴蝶效应

由以上简单的虫口模型，我们明白了一个简单的道理，那就是系统在一定条件下，当某些参数到达某种数值之后，就能进入混沌状态。

不是任何一只蝴蝶在任何时候的一次振翅都能引起一场飓风，它需要当时的大气系统进入混沌的状态。混沌的产生需要三个条件，其一是非线性，即变量之间的数学关系，不是直线而是曲线、曲面或不确定的属性。线性函数是一次函数，其图像为一条直线，其他函数则为非线性函数，其图像是除直线以外的图像。从物理上来看，线性是一个系统中的物理变量间的变化率，是一个恒量。而非线性系统中，一个变量最初的变化所造成的其他变量的相应变化是不成比例的。这样说很抽象，举个例子吧：你敬我一尺，我敬你一丈；你敬我两尺，我敬你两丈；你敬我三尺，我敬你三丈。这就是线性，变率就是恒量——十倍。那非线性呢？你敬我一尺，我敬你一丈；你敬我两尺，我敬你十丈；你敬我三尺，我敬你一百丈；你敬我四尺，我打你一拐杖，这就是非线性。对初值依赖的敏感度增加了，你尊敬我三尺和四尺，本来差别不大，但后果截然相反：敬你一百丈和打你一拐杖的区别。人和人之间的关系就是非线性的，所以我们常说要掌握好一个度。

其二是方程的参数要超过某个阈值。也就是说，是外界对系统的驱动或激励达到较高程度时，也即进入混沌态时。一只蝴蝶在大气进入混沌态下，在恰当的时间、恰当的地点，不经意地振动一下翅膀，起初的影响非常微小，但随着时间的流逝，也就是数学上的反复迭代，这个微小的变化被非线性地扩大了，指数式地倍增了，最终就可能导致一场飓风。

同样的，会有这样的情况。进入混沌态的系统本来要发生飓风，但因墨西哥一个螳螂伸腿，或一个墨西哥人伸了一下懒腰，就把飓风阻止了。所以庄子讽刺螳臂挡车是自不量力，但在混沌态下，螳臂岂止可以挡车，有时甚至可以挡住历史的洪流。在混沌到来之时，一切皆有可能。

其三，至少要达到三维的微分方程才能产生混沌，要有三个变量，才有可能产生不可预测性。举一个例子，美国20世纪60年代末深深陷入越南战争的泥潭，国内反战游行此起彼伏，美军是否有能力迅速消灭北越在南越的游击队，成为美国政府是否继续战争的关键性考虑因素。于是美国政府进行科学决策，委托数学家Lanchester建立越战数学模型。Lanchester在建模时只考虑两个变量：美军数量和越军数量，而且是以常规战对付游击战。这是一个二维的常微分方程，方程中考虑到美军火力强大，在明处，北越游击队火力较弱，但游击队通常在暗处，且活动范围大。通过计算，美军需要有10倍于北越的军队才能取得战争的胜利。而当时美军只是越军的6倍兵力，因而无法取胜。而美国虽有增兵的可能，但最多达到6.7倍，故而无法改变战局，于是美国最终决定撤军。因为这是一个二维微分方程，不产生混沌现象，因此对初值依赖不敏感，可以预测出明确的结果，这就为美国政府提供了明确的决策依据。

但在真正的现实世界中，各种不同的势力在博弈，岂是二维微分方程所能描绘的？三维恐怕是最低限，已具有混沌出现的可能性。那么在真实的人类历史中，是否出现过蝴蝶效应，它极大地改变了历史的进程，甚至还深深地影响了我们现在的生活？