“蝴蝶效应”大家应该相当熟悉，意思是说，巴西的一只蝴蝶振翅，会使美国德克萨斯州刮起一场龙卷风。但这到底是真是假，是信口雌黄还是确有科学依据，还需深究一番。提出这个概念的是美国人爱德华·洛伦兹，此人乃美国麻省理工学院气象学教授，致力于研究设计一种能够预测未来长期天气预报的数学模型。就是他提出了蝴蝶效应的概念，他是在哗众取宠吗？还是真的观察过很多巴西的蝴蝶，研究过美国的飓风，从而发现两者之间有着如此强烈的关联？其实，洛伦兹是个标题党，把一件很严肃很乏味的事情，表达得非常煽情。蝴蝶效应（Butterfly Effect），多么浪漫，多么魔幻，给人留下了无限想象空间，以至于这个词汇已经进入到我们的日常生活之中，我们动辄可以听到“蝴蝶效应”这个词。这到底有无科学依据呢？它和我们平时说的混沌现象又有什么关系呢？这正是本章需要向大家解释的。让我们从洛伦兹开始说起。

1959年的一天，他刚刚整出了一个简单的数学模型——三维微分方程组，准备借助计算机运用所谓数值迭代的算法，来推算两个月后的天气状况。当时的设备比较差，每推进一天要耗时一分钟，两个月就需要一个小时。算完一遍后，洛伦兹不放心，因为那时晶体管计算机容易出错，于是就再算一遍。当算到三十分钟时，也就是一个月时，他的咖啡瘾发作了，于是他终止了计算，但让计算机把中间结果打印了出来。等他买回咖啡后，将打印结果作为初始值输入计算机，令之继续计算，这样就避免了从头计算的麻烦。当洛伦兹很惬意地品着咖啡，欣赏着计算机不断输出的数据时，他的眼睛渐渐瞪大了，瞳孔也散开了。原来复算显示的第二个月的数据与第一次的计算出现了差距，而且差距越来越大，最终结果与第一次截然不同。

1-1 洛伦兹两次实验数据对比，数据初值差距仅为0.000127

同样的计算机用同样的方法计算同一模型，为什么两次结果迥然不同，难道是计算机坏了？洛伦兹最终发现，问题出在这里：第一次是连续计算的，而第二次中间喝了一次咖啡。这不是在开玩笑，洛伦兹买回咖啡后再输入的数值是中间的打印结果，小数点后面只有三位，而计算机内存中保留了小数点后六位。也就是说，从这一刻起，两次计算的起点值有差异了，尽管相差不到千分之一，但正是这个微小的差异导致结果天翻地覆的变化，形象点儿说，巴西的一个蝴蝶是否震动翅膀，决定了美国德克萨斯州是否发生飓风。太形象了，形象得以至于很多人都误解了蝴蝶效应的真正意思。若严谨一点儿表述，就是：系统对初始值的依赖极度敏感。

既然如此，这就意味着天气预报永远不可能对未来长期的天气给出准确预测，无论你这个数学模型有多么完善，采集的原始数据有多么精确，计算机有多么强大！由于系统对初始值太敏感，只要有微不足道的初始差异，最终结果就是颠覆性的。

洛伦兹最大的贡献还在于给这个现象起了一个煽情的名字——蝴蝶效应，这个形象的说法为其学说的传播奠定了基础。其实早在1885年庞加莱研究三体问题时，就发现了这个效应。所谓三体问题就是三个天体在万有引力的作用下，知道它们的初始位置，来计算它们在未来任一时刻的位置。庞加莱作为科学家可比洛伦兹厉害，但他不是标题党，所以没有引起科学家和公众的注意。

一、蝴蝶效应对传统决定论的冲击

讲到这里，有读者肯定要嘀咕，蝴蝶效应有什么，不就是我们的老话“失之毫厘，差之千里”吗？苏东坡有诗云：“竹中一滴曹溪水，涨起西江十八滩。”这不过是一个很寻常的现象，为何会对当时的西方科学界产生巨大震动，甚至有人说它终结了经典物理学呢？

因为当时有一个传统观念：“小的输入误差导致小的输出误差。”这样说有些专业，这样问大家吧，有人相信宿命论吗？从理论上讲，科学能够算命吗？我想很多人都会认为宿命论是迷信，那不科学。其实宿命论是相当科学的，尤其是特别符合经典物理学。在科学的语言中，宿命论又称为决定论，世间未来的一切都是决定好了的，不必庸人自扰、杞人忧天。当然你努力、你奋斗，那也是决定好了的，就像有些人游手好闲、无所事事，也是事先决定好了的。经典物理学真的是这样认为吗？大家在初中都学过牛顿第二定律，F＝ma，说明在质量已知、外力确定，加上初始位置和初始速度的给定条件下，运动物体在任何时刻的空间位置都可被牛顿第二定律所支配的微分方程初值问题的解说唯一确定。牛顿理论的这个结果也非常符合我们的常识，凡事必有因，有因必有果。世界上没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨，当你觉得一件事情纯属偶然的时候，其实是因为你不清楚其中的内在原因。

事实上，我们用经典物理理论成功地预测了日食、月食，因为我们通过建立数学模型，可以算出太阳、地球、月球在未来任一时刻的准确位置。这难道不就是响当当的决定论，或者说宿命论吗？那科学家为什么不能用经典物理学来给人预测呢？因为决定人生命运的因素太多、太复杂，科学家还没有能力建立这样一个庞大的微分方程组，也无法完整采集这些因素的准确初始值。

于是法国的拉普拉斯就说了：假如我们通晓了整个自然的法则，就能建立起一个无所不包的宇宙方程式，如果知道宇宙在某一瞬间初始状态的完全而精致的知识（如所有粒子的位置、质量、速度和方向等），就足以推断它在未来任何瞬间的情况。换句话说，科学在理论上是可以算命的。这是拉普拉斯的信念，也代表着传统物理学家的信念。但蝴蝶效应的出现打破了这一信念。(www.daowen.com)

蝴蝶效应告诉我们，即使你建立起了这样的宇宙方程，即便对某一瞬间的初态有着非常精确的数据，但由于极其微小的误差，都会导致完全不一样的结果，这就使得科学算命在理论上无法实现，而且无法趋近。比如预报天气时，怎么可能把每一个蝴蝶是否振动翅膀这一微小的信息也采集进去呢？但蝴蝶是否振动翅膀，就会对结果产生颠覆性的影响。

1-2 拉普拉斯（1745～1827）

是不是随便一个系统或数学模型都可以出现蝴蝶效应呢？如果是，这个世界还了得？几个蝴蝶岂不是可以把美国抹平了？所幸，只有混沌系统中才会有蝴蝶效应。混沌，看到这个词我们中国人就会想到盘古开天辟地之前的那个世界，但这里是翻译过来的——Chaos。又是一个标题党，Chaos，混乱、乱七八糟的意思，被翻译成一个多好的名字，他竟然是一个华人所给予的名称。

二、混沌（CHAOS）与“三”的关系

1975年，祖籍湖南的华人数学家李天岩与他的导师York联名发表了一篇论文，标题是PERIOD THREE IMPLIES CHAOS，即“周期三意味着乱七八糟”。学界称之为Li-York定理，其中曰：一个区间上的自映射，只要有一个周期为三的轨道存在，就一定有一切周期点，即一定会有Chaos。首次引入混沌这个学术术语。

但这个定律早在十几年前就被苏联数学家沙科夫斯基发表了，但当时没有引起人的重视，为什么呢？他不是标题党，而且发表在乌克兰期刊上了。

庞加莱则更早地证明，至少三维的连续系统，才会出现混沌。

Ruelle-Takens定理后来又发现，只要系统出现了三个互不相关的频率耦合，系统就必然形成无穷多个频率的耦合，出现混沌。

刚才说的Li-York定理，庞加莱定理，Ruelle-Takens定理，非专业人士自然不太懂。但会有一个感觉，混沌与“三”有关系，与无穷有关系。老子曰：道生一，一生二，二生三，三生万物。为什么是三生万物，而不是四生万物？以上各种定理告诉我们，“三”中已经蕴含一切和无穷，蕴含了混沌，也就是蕴含了宇宙万物。三是一个神奇的数字，俗话道：三个女人一台戏。三个女人不同性格、品格、价值观等，仿佛三个不同的频率，发生耦合后，就会有好戏出现。什么是戏？看不懂时，感觉是乱七八糟的，看懂后，很精致、很戏剧化，什么都有可能发生，跌宕起伏地发展，但难以预料。

混沌，就是这样的。