设f是[0,1]上的函数,p＞0,对于一个分划D={ti},定义f在D上的p-变差为

1-变差就是通常的变差,2-变差称为二次变差.定义f的全变差为

当V f＜+∞时,称f是有界变差的.

引理3.5.1　如果f是[0,1]上连续的有界变差函数,那么

其中D→0的意思是|D|=max|ti-ti-1|趋于零.

证明简单,留作练习.

引理3.5.2　设

是区间[0,t]的有限分划,且设

称为B在分划D上的二次变差,它是非负随机变量.那么

且VD的方差为

证明.事实上

为证明第二个公式,我们如下计算

因为不同区间的增量是独立的,以上和式中的每个乘积的期望会等于期望的乘积,

故等于零.因此我们有

我们现在可以叙述下面的定理.

定理3.5.1　设B=(Bt)t≥0是一维标准Brown运动.那么对任何t＞0,在L2意义下,

其中D是区间[0,t]上的有限分划,且(www.daowen.com)

证明.基于前面的引理,我们有

上面的收敛是依概率收敛.但若定理中的分划取得更好的话,上面的收敛可以变成是几乎处处的.

命题3.5.1设(Bt)t≥0是一维标准Brown运动.那么对任何t＞0,当n趋于无穷时,有

证明.设Dn是[0,t]上的二分点分划,

且用Vn表示VDn.由引理3.5.2　,EVn=t且

因此由Markov不等式,

故而

这样由Borel-Cantelli引理得Vn→t几乎处处收敛.

事实上,几乎处处收敛的结论对于单调分划列都成立.更确切地说,对任何n,设

是[0,t]的有限分划.如果Dn+1⊃Dn且

那么当n趋于无穷时,

此结论由下面的命题与非负鞅列收敛定理直接推出,证明参见习题.

命题3.5.2用Mn表示(3.5.2)的左边,则以下随机序列

是一个非负鞅.

下面的结果是引理3.5.1　的推论.

推论3.5.1　 Brown运动的几乎所有轨道在任何区间上都不是有界变差的.