本书一开始就提到，如何计算任意曲线包围的面积，直到17世纪初还是数学家面前的难题.微积分的诞生使这个难题迎刃而解.

一般说来，任意曲线包围的区域总能用直线分割成若干矩形和一些“曲边梯形”（图15－1），所以问题最后归结为曲边梯形面积的计算.在第2讲谈到“曲边梯形”面积和估值不等式的联系；在第9讲中，更利用曲边梯形面积与估值不等式引进了对数函数lnx.为了进行更严谨的讨论，必须说清楚什么是曲边梯形的面积.

图15－1　曲线包围的区域被分割成矩形和曲边梯形

给了区间I上的函数f（x），对应于I中任意两点u＜v，f（x）在[u，v]上的曲边梯形的“代数面积”（如图15－2，在x轴上方部分面积为正，下方部分面积为负，取总和），可以看成是某个二元函数S（u，v）的值.基于一般的面积概念，S（u，v）应当满足两个条件.一个条件是面积的可加性：[u，v]上的面积加上[v，w]上的面积，等于[u，w]上的面积；第二个条件是，[u，v]上的面积和区间[u，v]的长度之比，应当是f（x）在[u，v]上的“平均值”.根据面积的这些直观性质，抽象出下面的定义.

图15－2　区间[u，v]上曲边梯形的代数面积

定义10 （积分系统和定积分）设f（x）在区间I上有定义；如果有一个二元函数S（u，v）（u∈I，v∈I），满足

（i）可加性：对I上任意的u，v，w有

（ii）中值性：对I上任意的u＜v，在[u，v]上必有两点p和q使

则称S（u，v）是f（x）在I上的一个积分系统.

如果f（x）在I上有唯一的积分系统S（u，v），则称f（x）在（I的子区间）[u，v]上可积，并称数值S（u，v）是f（x）在[u，v]上的定积分，记作.表达式中的f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，u和v分别叫做积分的下限和上限.用不同于u，v的其他字母（如t）来代替x时，S（u，v）数值不变.

根据定义容易得出

命题15.1 若S（u，v）是一个积分系统，则

（i）S（u，u）＝0；

（ii）S（u，v）＝－S（v，u）.　　（15－3）

证明 （i）由S（u，u）＋S（u，v）＝S（u，v）推出S（u，u）＝0；

（ii）由S（u，v）＋S（v，u）＝S（u，u）＝0推出S（u，v）＝－S（v，u）.

命题15.2 设S（u，v）是f（x）在I上的一个积分系统，c是I上的一个点，令F（x）＝S（c，x），则在I上f（x）是F（x）的乙函数；

反过来，若在I上f（x）是F（x）的乙函数，令S（u，v）＝F（v）－F（u），则S（u，v）是f（x）在I上的一个积分系统.

证明 设S（u，v）是f（x）在I上的一个积分系统且F（x）＝S（c，x），则由可加性有S（u，v）＝S（c，v）－S（c，u）＝F（v）－F（u），再由中值性可知f（x）是F（x）的乙函数.

反过来，若在I上f（x）是F（x）的乙函数，令s（u，v）＝F（v）－F（u），则由S（u，v）＋S（v，w）＝F（v）－F（u）＋F（w）－F（v）＝F（w）－F（u）＝S（u，w）

可知S（u，v）满足可加性，再由乙函数定义得S（u，v）满足中值性.证毕.

定积分除了满足前述定义外，还有下述基本性质：

（i）若f（x）和g（x）都在[a，b]可积，则对于任意实数α和β，函数αf（x）＋βg（x）也在[a，b]可积，且

（ii）若f（x）在[a，b]可积，则函数|f（x）|也在[a，b]可积，且

这些性质的证明从略，

性急的读者可以跳过下面的两个例题，了解微积分基本定理.

例题15－1 求证区间I上的常数函数f（x）＝c有唯一的积分系统S（u，v），并计算S（u，v）＝.

证明 根据中值性有

c（v－u）＝f（p）（v－u）≤S（u，v）≤f（q）（v－u）＝c（v－u）.

从而

S（u，v）＝（其几何意义如图15－3）.

图15－3　常数函数f(x)＝c的定积分

例题15－2 设f（x）＝sgn（x），S（u，v）＝|v|－|u|，则在任意区间I上，S（u，v）是f（x）的唯一积分系统，即

证明 容易验证在任意区间I上f（x）＝sgn（x）是F（x）＝|x|的乙函数（习题2－7），从而由命题15.2知道S（u，v）＝|v|－|u|是f（x）＝sgn（x）的一个积分系统.

下面证明S（u，v）＝|v|－|u|是f（x）＝sgn（x）的唯一的积分系统.

设R（u，v）也是f（x）＝sgn（x）的一个积分系统，往证R（u，v）＝S（u，v）.由可分性有R（u，v）＝R（0，v）－R（0，u）和S（u，v）＝S（0，v）－S（0，u），故只要证明对任意的x有R（0，x）＝S（0，x）即可.

用反证法.设有c使得R（0，c）≠S（0，c），记A＝|R（0，c）－S（0，c）|＞0.此时显然有c≠0.取正整数n＞，则和c同为正数或同为负数.由例题15－1有，故得

这与n＞矛盾，从而否定了反证法假设R（0，c）≠S（0，c），证毕.

例题15－2的几何意义如图15－4.

下面的定理，标志着微积分的诞生.

命题15.3 （微积分基本定理）设F（x）在I上强可导，F′（x）＝f（x）.令S（u，v）＝F（v）－F（u），则S（u，v）是f（x）在I上的唯一积分系统，从而有

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图15－4　符号函数f(x)＝sgn(x)的定积分

（这个等式就是著名的牛顿—莱布尼兹公式.）

证明 由命题6.4，F′（x）＝f（x）是F（x）的乙函数.由命题15.2推出S（u，v）＝F（v）－F（u）是f（x）在I上的积分系统.

下面只需要证明S（u，v）是f（x）在I上的唯一积分系统.

设R（u，v）也是f（x）在I上的积分系统.取I上任一定点c，令G（x）＝R（c，x），则由命题15.2，在I上f（x）也是G（x）的乙函数；又由命题6.4知f（x）在I上差商有界，且G′（x）＝f（x）＝F′（x）.

于是（G（x）－F（x））′＝0，导数为0，故在I上F（u）－G（u）＝F（v）－G（v）为常数，故有R（u，v）＝G（v）－G（u）＝F（v）－F（u）＝S（u，v），这证明了S（u，v）是f（x）在I上的唯一积分系统，由定义知道定积分记号合理，从而由S（u，v）＝F（v）－F（u）得所要的等式，证毕.

若f（x）是F（x）的导数，则称F（x）是f（x）的原函数.牛顿—莱布尼兹公式表明，只要找到f（x）的一个原函数，就能够轻易地求出y＝f（x）构成的曲边梯形的面积.这一举解决了大量的面积计算问题.

例题15－3 如图15－5，抛物线y＝x2和直线y＝x＋2交于P和Q两点，求线段PQ所对的抛物线弓形的面积.

解 如图15－5，所求弓形面积等于梯形ABPQ减去抛物线下阴影部分面积之差.设阴影部分面积为S，由于f（x）＝x2的原函数是F（x）＝，根据微积分基本定理得

图15－5　抛物线下的面积

容易算出梯形ABPQ面积为，故所求弓形面积为.

这里和以后用记号F（x）表示F（b）－F（a）.其中变量x可以代之以其他字母变量.

例题15－4 求函数y＝sinx的曲线在区间[a，b]形成的曲边梯形的代数面积.

解 由于（－cosx）′＝sinx，根据微积分基本定理可知所求代数面积为

取（15－10）的特例，令a＝0，b＝π，求得正弦曲线在[0，π]上的弓形面积（图15－6）为

图15－6　正弦曲线在[0，π]上的弓形面积

曲边梯形的面积是定积分最基本的几何模型，也是最初步的应用.后面还会举出它在物理和几何中更多的应用.

为了应用微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式），常常要找出已知函数的原函数即甲函数，也就是问已知函数是谁的导数.

若F（x）是f（x）的一个原函数，C是任意常数，则F（x）＋C显然也是f（x）的原函数.

如果G（x）也是f（x）的原函数，则（F（x）－G（x））′＝0，从而F（x）－G（x）是常数.这表明f（x）的所有的原函数都可以表示成F（x）＋C的形式.

求原函数和求导数这两个运算互为逆运算，就像乘法和除法.数学中互逆的一对运算，常常是一个容易一个难.乘法容易除法难，求导数容易求原函数难.数学研究表明，有些初等函数的原函数不再是初等函数，可以用其他方法计算其定积分.在大学数学课程中，将学习更多求原函数和求定积分的方法和技巧，即所谓积分法.

若F（x）是f（x）一个原函数，f（x）的所有原函数之集F（x）＋C叫做f（x）的不定积分，记作∫f（x）dx，即

这里∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数.

根据微分的定义，得到

这里显示出两个运算符号d和∫的互逆关系.

有不少数学软件可以用来在计算机上求函数的不定积分，即求原函数.手算不定积分可以查阅不定积分表.

根据基本初等函数求导公式，可得如下不定积分公式，这些公式构成基本积分表.

基本积分表

直接应用基本积分表，可以求出一些函数的不定积分.在因特网上容易找到免费下载的常用积分表.在计算机上用数学软件求函数的原函数也很容易，但是也有很多函数的原函数不能用初等函数表示.

例题15－5 应用基本积分表求下列不定积分

习题15－1 求证区间I上的一次函数f（x）＝k·x＋c有唯一的积分系统S（u，v），并计算S（u，v）＝dx.

习题15－2 设floor（x）＝[x]（[x]表示x的整数部分，即不超过x的最大整数，例如[3.42]＝3，[5]＝5，[－2.7]＝－3），试证在任意区间I上，floor（x）＝[x]有唯一积分系统S（u，v），并计算S（u，v）＝.

习题15－3 如图15－7，抛物线2y＝x2和y2＝2x交于P和Q两点，求两段以P和Q为端点的曲线围成的区域的面积（图上阴影部分）.

图15－7　两条抛物线相交形成的区域

习题15－4 求函数y＝2x的曲线在区间[－1，1]上形成的曲边梯形的代数面积.

习题15－5 应用基本积分表求下列不定积分