上一讲里提到，根据乙函数和强导数的关系并应用命题2.3和2.4，可以得到公式（f（k·x＋C））′＝k·f′（k·x＋C）.这样的公式在计算诸如f（x）＝（k·x＋C）n这样函数的导数时带来了方便.这是高中课程中要求会用的求导公式.

如果进一步问，代入到函数f（x）里面的不是简单的一次函数k·x＋C，而是一个更一般的函数g（x），该有什么样的求导公式呢？

也就是说，知道了f（x）和g（x）的求导公式，如何计算复合函数f（g（x））的导数呢？答案就是下面的重要命题.

命题8.1 （复合函数求导的链式法则）设函数F（x）在区间I上强可导，G（x）在区间J上强可导，且当x∈I时有F（x）∈J，则复合函数G（F（x））在I上强可导，且

这里特别要注意求导数的记号的两种形式：（G（F（x）））′表示函数G（F（x））对x求导，而G′（F（x））表示G（u）对导后再令u＝F（x）代入.

链式法则的证明 为简单且不失一般性，我们对I＝[a，b]且J＝[c，d]的情形加以论证.

根据强可导的定义，有正数M1，使对[a，b]中的任意两点x和x＋h有不等式

同理有正数M2，使对[c，d]中的任意两点y和y＋H有不等式

又由命题6.2可知有正数A使得对一切x∈[a，b]和y∈[c，d]有

记F（x）＝y0，F（x＋h）－F（x）＝H0，R2＝G（y0＋H0）－G（y0）－G′（y0）H0和R1＝H0－F′（x）h，则由上面几个不等式有

根据R2、R1和H0等的意义有

从而得到

此不等式表明G′（F（x））F′（x）是G（F（x））在[a，b]上的强导数.证毕.

复合是函数之间最重要的运算.因此，求复合函数导数的链式法则也就是最重要的求导公式.对这个法则的含义和用法一定要清楚，否则在微积分的进一步学习中将有很大困难.

学习使用链式法则，在还不熟练时可分三步走：

第一步，取中间变量u＝F（x），把要求导的函数y＝G（F（x））用y＝G（u）和u＝F（x）两个函数表示；

第二步，分别对不同变量求出两函数的导数G′（u）和F′（x）；

第三步，将两个导数G′（u）和F′（x）相乘，再用u＝F（x）代入，就得到复合函数y＝G（F（x））的导数.

例题8—1 求下列函数的导数：

（i）sin（2x＋7）；

（ii）；

（iii）tan（＋1）.

解 （i）记u＝2x＋7，y＝sinu.分别对x和u求导得u′＝2和y′＝cosu，相乘再用u＝2x＋7代入得（sin（2x＋7））′＝2cos（2x＋7）.这和前面使用命题2.3和2.4得到的结果一致；

（ii）记u＝x＋，y＝u5.分别对x和u求导得u′＝1－和y′＝5u4，相乘再用u＝x＋代入得.

读者不妨把展开求导作对比.

（iii）记u＝＋1，y＝tanu.分别对x和u求导得u′＝和y′＝，相乘再用u＝＋1代入得

对链式法则熟练之后，就不必写出中间变量u，一气呵成.(www.daowen.com)

如果要求导的函数是三个函数复合而成呢？只要多用一次链式法则就解决了.

命题8.2 （多层复合函数求导的链式法则）设函数F（x）在区间I上强可导，G（x）在区间J上强可导，H（x）在区间K上强可导，且当x∈I时有F（x）∈J，当u∈J时有G（u）∈K，则复合函数H（G（F（x）））在I上强可导，且

证明 记ψ（x）＝G（F（x））.

由命题8.1得（H（ψ（x）））′＝H′（ψ（x））ψ′（x）；

再用命题8.1得ψ′（x）＝（G（F（x）））′＝G′（F（x））F′（x）；

集成两式得

（H（G（F（x））））′＝（H（ψ（x）））′＝H′（ψ（x））ψ′（x）

＝H′（G（F（x）））G′（F（x））F′（x）.

命题得证.

同理，对4层以上的复合函数容易导出相应的链式法则.

例题8—2 求下列函数的导数：

（i）（1＋sin（x2＋1））25；

（ii.

解 （i）记v＝x2＋a，u＝1＋sinv和y＝u25；三者分别对3个变量求导后相乘并用原设变量代换得

（（1＋sin（x2＋1））25）′＝25u24·cosv·2x＝50cos（x2＋1）（1＋sin（x2＋1））24.

（ii）记v＝和y＝，三者分别对3个变量求导后相乘并用原设变量代换得

例题8—3 求二次曲线3x2＋xy＋2y2－x＝14上点（2，1）处的切线方程.

解 把y看成x的函数，将曲线方程两端对x求导数，由链式法则得

从（8－9）中解出y′＝，当x＝2、y＝1时y′＝－，即曲线在点（2，1）处的切线斜率k＝－.故切线方程为12x＋5y－29＝0.此曲线及切线如图8－1.

图8－1　二次曲线的切线

习题8—1 求下列函数的导数：

（i）（x2－3x＋7）33；

（ii）；

（iii）sin（3＋）；

（iV）；

（V）；

（Vi）

习题8—2 试推导4层复合函数H（G（F（ψ（x））））的求导公式.

习题8—3 （i）过点（3，－1）作曲线x2－xy－4y2＋y＝7的切线；

（ii）已知A＝（u，v）是曲线x3＋xy－y3－2x2＝1上的点，求此曲线在点A处的切线斜率k.