作任意曲线上的切线，是古老的几何问题，也是促使微积分诞生的数学问题之一，正如马克思在给恩格斯的一封信中所说：“全部微分学本来就是求任意一条曲线上的任何一点的切线.”

解析几何的创始人笛卡儿（R.Deacartes，1596—1650），在1637年提出了作曲线y＝f（x）的切线的“圆法”，这个方法适用于（f（x））2是多项式的情形，但计算起来比较复杂.笛卡儿用代数方法研究几何问题，在推动微积分早期发展方面有很大影响.他的“圆法”，是牛顿走上研究微积分之路的起跑点.

牛顿的老师巴罗（Isaac Barrow，1630—1677），在1669年出版的《几何讲义》中，提出了作任意曲线切线的“微分三角形”（也叫“特征三角形”）方法.“微分三角形”的概念在促使微积分诞生方面有重大影响.

如图3－1，给了曲线y＝f（x）上一点P（u，f（u）），要作曲线在点P处的切线，只要求出切线的斜率.为此取曲线上另一点Q（v，f（v））作割线PQ和点R（v，f（u）），巴罗称直角三角形PQR为曲线y＝f（x）在点P处的“特征三角形”或“微分三角形”.设切线和x轴交于A，点P在x轴上的垂足为B.巴罗认为当Q和P非常接近时，即△PQR越来越小时，它和△APB趋于相似，即割线PQ的斜率趋向于切线斜率.

图3－1　巴罗的微分三角形

注意到割线PQ的斜率正是在第1讲里引进的差商，如图1－1所示.按定义1，当v趋向于u时差商如果趋向一个确定的数A，A叫做f（x）在x＝u处的导数.

于是，f（x）在x＝u处的导数，就是曲线y＝f（x）在点P（u，f（u））处的切线的斜率.这就是导数的几何意义.

例题3—1 用巴罗方法求抛物线2y＝x2在点（2，2）处的切线的斜率.

解 将抛物线方程写成函数形式y＝f（x）＝0.5x2，取u＝2，v＝2＋h，P＝（u，f（u））＝（2，2），Q＝（v，f（v））＝（2＋h，0.5（2＋h）2）并计算差商

当v趋向于u时，即h趋向于0时，上式右端趋向于2.因此曲线在点P（2，2）处的切线斜率为2.如图3－2.

若直接应用导数几何意义，求出f′（x）＝0.5（x2）′＝0.5（x2）′＝x，再将x＝2代入立得点P（2，2）处的切线斜率为f′（2）＝2.简单得多.

图3－2　抛物线的切线

例题3—2 写出过点A（3，－1）而与双曲线y＝f（x）＝相切的直线的方程.

解 设所求直线与曲线相切于点B（u，f（u）），则直线斜率为f′（u）.根据直线AB斜率意义可得

将f（u）＝和f′（u）＝－代入上式得到关于u的方程

整理后得二次方程u2＋2u－3＝0，解得u＝－3或u＝1，即切点可能是B或B1（1，1）；所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出整理后分别为x＋y－2＝0和x＋9y＋6＝0，如图3－3.

图3－3　过一点作双曲线的切线

例题3—3 已知曲线y＝f（x）＝x－6＋11在点P（u，f（u））处的切线的斜率k＝－，求此切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

解 求导数得f′（x）＝1－，由k＝－得方程f′（u）＝1－，解得u＝4并算出f（u）＝3，即P＝（4，3）.应用点斜式得切线方程（y－3）＝－（x－4），整理得x＋2y＝10.求得切线在两轴上的截距分别为10和5，故所求三角形面积为＝25，如图3－4.

图3－4　切线和两轴围成的三角形的面积

解决上面几个问题，关键是用了“导数是函数曲线切线的斜率”这个几何意义.

但是，这几何意义来自直观的描述：当曲线上一动点趋于一定点时，过两点的割线斜率趋于定点处切线的斜率.

在探索数学问题时，直觉的洞察极为重要.许多重要的发现，靠的是直觉的洞察，即直观的合情推理.但数学的本性要求严谨，不严谨就难于继续深入发展.直觉的洞察是火热的思考，而严谨的反思能使数学呈现出冰冷的美丽.

上面我们反复谈切线，求切线.但什么是切线？还没有定义！

没有定义切线居然求出了切线，画出图来还准确无误，岂非怪事？这“怪事”值得反思.

事实上，字面上尽管还没有切线定义，我们在求切线时心里是有想法的：曲线上两点靠拢了，过两点的割线就成了切线.也就是说，两点靠拢过程中割线的极限位置就是切线.

别看这个想法简单，它得来不易，在两千多年间，数学家一直在挖空心思企图给切线一个合理的定义.这个努力直到19世纪才结出硕果，这就是现在教科书上普遍采用的说法：割线的极限位置就是切线.

对教科书可不可以质疑？这样的切线定义是不是完美了？能不能有更好的说法？(www.daowen.com)

把切线看成割线的极限，是基于我们对几何图形的直观认识和操作.检验这种认识是否合理，有没有什么独立于我们的直观认识和操作之外的根据呢？

曲线的切线本来是几何问题.能不能不涉及很难说清楚的极限概念，从直线与曲线的关系出发来定义切线？

温故知新，推陈出新.要想说清楚一般曲线的切线，先来看看我们熟悉的圆的切线有何特点.

圆的切线的有些性质是和圆密切联系的特殊性质.例如，切线垂直于过切点的半径；切线是和圆只有一个公共点的直线等.这些特殊性质难于推广到一般曲线.

也有些性质具有一般性.

如图3－5，过圆O上一点A作切线AB，再取圆上另一点P作割线AP，当P趋于A时，割线AP趋于切线AB.着眼于这个性质，得到上述教科书上的切线概念.

图3－5　切线在切点附近比割线更接近圆弧

割线AP趋于切线AB，这是表象.有没有更实质的东西？

继续看图3－5.作圆弧AP的中点M，则直线AM是∠PAB的角平分线，显然，在切点A附近的圆弧和切线AB在角平分线同侧，而在割线AP的异侧.这表明，在切点A“附近”，切线比任一条割线更接近圆弧.

在过圆的切点的所有直线中，在切点附近最接近圆弧的是切线，

所以可以设想，过曲线上一点A的所有直线中，如果有一条在点A附近最接近该曲线，就把这条直线叫做该曲线在点A的切线.

定义3 （曲线的切线的定义）设A是曲线τ上的一点，在所有过点A的直线中，在A的附近最接近曲线τ者叫做τ在A处的切线.

这个定义描述了切线和曲线的本质联系，不依赖其他概念.

这里τ是希腊字母γ的大写，仍读作“伽马”，数学资料习惯上常常用它称呼曲线，就像用α或β命名角一样.

能不能根据上述定义严谨证明，导数就是切线的斜率呢？

下面分析一下，具体要证明的是什么？

如图3－6，点A＝（u，f（u））在函数y＝f（x）的曲线上.过此点的直线除了平行于y轴的x＝u外，其方程都可以写成y＝f（u）＋k（x－u），这里k是该直线的斜率.

图3－6　曲线上一点到两直线距离的比较

要证明在点A附近最接近曲线y＝f（x）的是k＝f′（u）的那一条，即图中直线

AQ：y＝f′（u）（x－u）＋f（u）.

另一条直线AP为

y＝k（x－u）＋f（u），k≠f′（u）.

设B＝（v，f（v））是曲线y＝f（x）上另一点，如图，分别计算它到AQ和AP的距离.记h＝v－u≠0，可得

要证明的是，当|h|＞0足够小时有

d（B，AP）＞d（B，AQ）.

你能够证明这个不等式吗？无论能否成功，应当思考一下.

在试图证明该不等式的过程中，你会发现一个基本的困难，就是引入导数时定义1中使用了不严谨的自然语言，如“趋于”.如何用不严谨的概念推出一个确定的不等式？这个问题的完全解决有赖于概念的严谨化，这是大学数学专业微积分课程的任务，在本书中，很快就将对包括所有初等函数的一大类函数，彻底解决这个问题（见第6讲）.这样的问题，高考试卷上肯定不会出现.本书的这些内容，是为了满足数学老师和真正对数学本身有兴趣的同学们的需求.

习题3—1 用巴罗的方法，求曲线y＝1＋在点P（9，4）处的切线的斜率和一般式方程.

习题3—2 已知曲线的一条切线的斜率为，求切点的坐标.

习题3—3 设曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，求数a的值.

习题3—4 已知曲线y＝9x－48＋66在点P和Q处的两切线交于点R（6，0），求△PQR的面积.