在所有周长相等的矩形中，面积最大的是正方形，这是正方形的一个特性。可是，很多人对这个特性还一无所知，因此有必要进行一次严格的证明。

我们将矩形的周长记为P，若这个矩形是正方形，它的边长就是。现在，我们就来证明，若将其中的一个边长减小b值，同时在另一边加上b值，虽然它的周长还是P，面积却小于正方形。这意味着，证明正方形（边长为）的面积比矩形，即

不等式的右边：

也就是说，上式可以转化成下面的式子：

0＞-b2或b2＞0

显然，该不等式成立，原因是任何数的平方都大于0。因此，前面的那个不等式当然也是正确的。

综上可知，在周长相等的所有矩形中，面积最大的是正方形。除此之外，我们还可以肯定地说：在所有面积相等的矩形中，周长最短的是正方形。接下来，我们也可以证明一下。

假设上面的结论是错误的，也就是说，在面积相等的情况下，正方形的周长并不是最短的。

假设矩形A的面积和正方形B相等，周长却比正方形B短。(www.daowen.com)

倘若矩形A的周长与正方形C的周长相等，则这个正方形C的面积大于矩形B的面积。

正方形C的面积比矩形B的面积大。

正方形C的周长比正方形B的周长小，面积却比正方形B的面积大。

这显然是不成立的。

因此前面的假设是错误的，想要矩形A和正方形B的面积相等，周长却比较小，根本就是不可能的事。我们可以得出一个结论：在所有面积相等的矩形中，周长最小的是正方形。

上文中，若巴霍姆知道正方形的这两个特性，他完全可以根据自己的体力，让自己获得最大的土地面积。在白天轻松走出36俄里，即走出一个边长为9俄里的正方形，就能得到81平方俄里的土地，这比用性命换来的土地还要多出3平方俄里。

反之，若巴霍姆只想得到一块很小的土地，比方说36平方俄里，那么他只需花费一点体力，走出一个边长为6俄里的正方形就行了。