这一节表明长度l的半波偶极子会通过来回折叠导线使其长度变短并产生弯折（见图2.11）。对于有着相同谐振频率的原始半波偶极子，弯折的偶极子天线（MDA）的特性在不考虑垂直方向的条件下由在水平方向上比l短的机械长度s来决定。然而，机械长度S_tot>l代表MDA的总长度，包括垂直方向以及水平方向。反之，通过加载弯折的导线结构到有固定的天线长度的半波偶极子上可以降低谐振频率。

图2.11 弯折的偶极子和半波偶极子（s<l且S_tot>l）

基于导线的MDA可以在一些情况下遇到。比如，不锈钢圆柱电线通过RFID标签用在衣服和床单中来承受洗衣房中剧烈的洗涤过程。但是几乎所有的RFID天线都是印刷的MDA的变体。如今，铜是标签天线中用的最多的导体，腐蚀是在生产导电样品时最常用的技术。但是，在天线的大规模生产中标签的花费是一个重要的因素。使用导电油墨印刷技术是比较经济的方法。在印制电子产品时，银颗粒经常用于在标签天线上形成金属线上的导电层。

本节主要的结论是，谐振频率会随着一些特征值的增加而降低，比如：弯折高度h、褶皱数量m、弯折的宽度w和导电线的长度s。而且，弯折出现的位置不会影响谐振频率，但会明显影响其性能。

1.结构分析

可以如下进行结构分析[END 00]。天线弯折部分的影响与一个负载相似，曲线部分可以认为是短路端传输线。图2.12显示了有两个弯折的偶极子天线。每个弯折部分被认为是具有截止环路的双向传输线。另外，粗线和虚线代表长度为s和直径为d的传输线。

双向传输线的特征阻抗可以表达成以下形式：

图2.12 视为短路端的传输线弯折线部分

式中，η是自由空间里的波长阻抗；w是双线之间的距离；b是导线的直径。Z_in是双线的输入阻抗，从而可以给出下式：

式中，β等于2π/λ；h是双线的高度。假设所有双线在一个短路电路内终止，则双线的负载阻抗等于零（Z_L=0），那么式（2.22）变为

Z_in=jZ₀tanβh （2.23）

tanβh在条件βh<<1下可以扩展为三阶，

然后一个输入阻抗的新的表达式可以给出：

如果把式（2.21）代入式（2.25），每个双线产生的感应电抗可以表达成下式：

式中，μ₀代表真空电导率。设想弯折部分的数量是m，双线获得的总感应阻抗应为L_p=m×L。长度为s的长直线自身会产生电感。从而可以给出下式[END 00]：

MDA的总感应阻抗最终由下式给出：

L_T=L_s+m×L （2.28）

半波长偶极子天线的自身电感可以从式（2.27）得到：

通过[END 00]，可以认为MDA和半波长偶极子天线的感应阻抗相等，当它们在相同频率时产生谐振。因此，L_H=L_T在f₀=c/λ₀表达成下式：

式（2.30）表明了MDA的谐振频率f₀和它的物理维度之间的关系。(www.daowen.com)

2.在谐振频率上弯折特点的影响

负载不同的数量弯折的MDA按照图2.13进行筛选，弯折的数量分别为m=2、8、14，MDA的长度s=129mm，金属丝的直径b=1mm，偶极子间的间隙g=3mm[HU 09]。

为了妥善处理谐振频率上的每个参数带来的影响，采用下述方法：三个参数值（m、h、w）中的两个参数固定，另一个不固定的参数在一定范围内变化。为了检测分析模型的有效性，采用仿真软件HFSS进行对比。

图2.13 三个MDA在研究下的拓扑

弯折的数量m在2～14范围内变化（w=6mm、h=10mm）。谐振频率通过式（2.30）计算，仿真结果如图2.14所示。类似地，由弯折高度和宽度引起的谐振频率的变化在m=2、8和14时如图2.15和图2.16所示。可以通过将m=14的弯折减少约50%来观察半波长偶极子天线的原始尺寸。

图2.14 谐振频率与弯折数目的函数（w=6mm，h=10mm）

通过将有固定尺寸（w=6mm、h=10mm）的弯折向偶极子两端移动（见图2.13中距离D），可以研究弯折位置带来的影响。通过式（2.30）和HFSS分析得到的谐振特性可以从图2.17得到。我们注意到D在谐振频率上没有产生巨大影响。总而言之，通过式（2.30）预测的MDA谐振特性在结果上得到广泛认可，并且随着弯折数量的增加逐渐接近。

图2.15 谐振频率的弯折高度的函数（w=6mm）

图2.16 谐振频率的弯折宽度的函数（h=10mm）

图2.17 谐振频率作为弯折位置D的函数

3.MDA阻抗的讨论

相等长度的双线电感小于单线电感。举个例子，假设一个直径b=1mm，长度l=100mm的直导线，根据式（2.27）可以得出电感L=100nH，我们可以通过式（2.26）找到高度h=47.5mm，宽度w=5mm的双线感抗为60nH。因此，当直偶极子的长度和MDA的总“物理”长度相等时，直偶极子的电感比MDA的电感高。

但是，MDA的总电容相比直偶极子也是减少的。这可以从短偶极子的电容近似得到。因为天线的谐振频率等于，L和C分别是天线的电感和电容。结论是一个较长的“物理”长度S_tot需要一个MDA，这已经通过使用直偶极子获得相同900MHz运算量来实现。

4.弯折特征对增益和辐射电阻的影响

在HFSS中设计一个标准的半波长偶极子天线。它的长度L是129mm，与先前章节讨论的MDA的长度相等。在半波长偶极子的增益和固定机械长度s=129mm的MDA的增益之间做一个对比。这个增益由半波长偶极子的谐振频率1.095GHz和MDA的谐振频率计算得到。表2.1和表2.2显示了两种频率计算的对比。它表明MDA的增益随着弯折数量、高度和长度的增加而减小。

表2.1 在不同弯折数量和高度下的MDA增益（w=6mm）

表2.2 在不同弯折数量和宽度下的MDA增益（h=10mm）

MDA的增益降低解释如下：组成双向传输线的两条平行垂直导线的电流朝着相反的方向流动。因此，这些电流没有产生辐射而产生了近磁场和传导损耗。换句话说，一个弯折不仅仅增加了天线电感，也增加了它的损耗电阻R_loss。另一方面，在弯折中水平部分未补偿的电流增加了辐射。因为在MDA和半波长偶极子中的水平电流总长均为129mm，可以假设每个天线有相同的辐射阻抗R_rad。因此，由η=R_rad/（R_rad+R_loss）得出的天线效率随着MDA和弯折中的效率和增益降低而下降。所以，增加弯折的数量并不能提高辐射能力，而且事实上会导致更多的损耗，因为要在缩减尺寸和增益之间要做让步。

另一个重要点是MDA之间的弯折位置对增益有一定影响。当谐振极子中的电流在边缘最小而在中心最大时，它更能集中在边缘而不是中心的弯折降低损耗，与之相反，弯折位置与总阻抗互不约束。

因此，如果MDA被挤压来保持和半波长偶极子相等的谐振频率，MDA的辐射阻抗能从半波长偶极子的辐射阻抗中推导出来[DOB12]：