要想进一步提高解题能力，我们还要在平时的解题练习中不断地反馈和总结。

何为反馈？反馈泛指发出的事物返回出发的起始点并产生影响。在解题过程中，尤其是解题后，能够很好地对自己的解题进行总结完善，这是一个优秀解题者应具备的高层次的思维和心理品质。如果能做到不失时机地对解题过程和结果进行检验，对解题方向进行调整，对解题的结果进行总结、归纳、推广，对问题进行更深的研究和探索，从中发现一些新结果、新方法、新规律，就能使解题者的解题技能不断内化、数学素质不断提高，最后跻身“高手”之列。

解题的反馈大致可划分为两个阶段：解题过程中和解题后的反馈。

（一）解题过程中的反馈——自我调控

当你在解一道数学题时，可能会注意到，这道题比自己想象的要复杂。也许最好的办法是将题目再读一遍，看看自己是否完全理解题意，我们说要“反复读题”，其本质就是反馈行为。在问题解决过程中，我们都会即时关注问题的进展情况，如果情况呈良性发展势头，那么你会沿这条路走下去；如果“大事不妙”，那么你会仔细地进行检查，并考虑其他方案。

我们常说，自己在解决某个问题中忙晕了，干了老半天不知自己在干什么，其实这就是自我调控的紊乱，在解题中自觉地培养自我调控的意识与能力是十分必要的，不妨在解题中不断反问：我正在做些什么，我为什么要这样做，这样做对我有什么帮助？

正在进行的基础教育改革十分推崇学生学习方式的改变，提倡学生在学习过程中质疑、调查、探究、发现，在实践中学习，让学生成为学习中的主人。毫无疑问，解题过程中的自我调控对学生主体意识的培养有一臂之力。

（二）解题后的再反馈——检验、错误分析、反思

某道题解完了，对入门者来说万事皆休，剩下的事就是沉浸在胜利的喜悦中。真正的高手却认为这只是开始，他们往往已经开始分析、整理、拓展自己的思维过程和结果。结果有没有错？错误与失败的表面原因与深层原因何在？对于屡次受阻的问题，尽量追索“挫败”的原因何在？顿悟又是怎样产生的？解题过程可否优化，可否提升？方法是否具有普遍性，对思维的发展有无帮助？诸如此类的问题，将不断盘旋在他的脑海中，及时总结思维方法，积累解题经验，可以使解题者的思维在更深的层面得到挖掘，在更广阔的空间中得到延续，解题后再反馈的价值绝不亚于解题过程本身。

1.检验

波利亚指出：“你能检验这结果吗？你能检验这论证吗？对这个问题如能给出很好的回答，将加强我们对答案的信任，并巩固我们的知识。”解题过程中和解题后的检验都很重要，一是可以确认答案的正确性，二是检验作为反思的前奏，也是丰富解题经验，提高解题能力，增强数学素质的一个有效途径，检验常采用以下几种方法：

（1）重解检验：就是把解题中的关键推算过程甚至解题的全过程重新审查一遍，检查自己的解题过程是否有错。在这里要特别注意克服原解题过程的思维定势的影响。

（2）另解检验：大部分数学问题有不止一种的解法。对于有价值的典型题，有时我们可以用不同的解法对结果进行检验。用不同的解法再解一次，可以培养解题者的发散思维，还可以通过不同解法的比较，找到更好的解法，总结解题规律。

（3）逆推逆算检验：如果解题所用的运算及推证过程都是可逆的，有时可以进行逆推或逆算，看过程是否正确。如加与减、乘与除、乘法公式与因式分解、等价命题等。在用这种方法时，必须明确所用的命题和逆命题是否成立。

（4）代入检验：就是把所求出的结果代入题设中，看其满不满足题目要求，与已知条件及已知的定理、法则、性质等是否协调，如方程的根、线段长度、角度大小等，求出后都可代入进行检验。

（5）作图检验：对于与数系、集合分类、平面坐标、几何图形等方面有关的问题，有时可做出问题的直观图检验问题结果的正确性，还可判断是否有漏解现象。

（6）特殊化检验：对于一般性的结论，有时可以取特殊值或图形的特殊点进行检验，对于复杂或抽象的题目，有时可以转化为简单的或具体的问题进行检验。

（7）估计检验：许多题目具有实际背景，可以从实际意义进行检验。如长短、质量是否合乎实际，正数、整数是否恰当等。这些都可以通过位数、范围、整除性等进行检验。

2.错误分析

检验可以帮助我们找到错误，但还达不到“惩前毖后，治病救人”的目的。错误分析是解题学习中的一项重要内容，是纠错能力的一个重要构成部分。解题者能够从数学习题的错误中意识到自己的思维过程中的缺陷，自觉进行控制，达到根据解题的需要，灵活运用各种方法和技能进行思维操作的目的。

为了能够“对症下药”地纠错，分析错误的表现形式及生成原因是很必要的。虽然所有的错误都最终反映到知识上来，但不能把所有的错误全部归结为知识性的错误。解题错误的原因除了知识结构不完善之外，还应考虑解题者的认知结构。我们把解题错误分为四大类：知识性错误、逻辑性错误、策略性错误、心理性错误。

（1）知识性错误：这主要是指由于数学知识上的缺陷所造成的错误，如误解题意、概念不清、记错法则、用错定理、不顾使用范围使用方法等。

（2）逻辑性错误：这主要指违反了逻辑规则所产生的推理上与论证上的错误。常见的逻辑性错误有以下几种表现：

虚假论据：以虚假的命题作为推论的依据，违反了逻辑思维的充足理由律。

偷换概念：违反逻辑推理的同一律。

循环论证：简言之，就是欲证明结论的正确性又用到结论作为论据。(www.daowen.com)

（3）策略性错误：这主要指出由于解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题过于冗长，如果在考试中出现这种错误，问题也会因此得不到解决。

（4）心理性错误：解题者虽然具备了解决问题的必要知识和技能，还可能由于某些心理原因而产生解题错误。比如因看错题、抄错题、书写丢三落四以及考试中的慌乱急躁、紧张焦虑、粗心大意等非智力因素造成的过失性错误。

解题时保持清醒的头脑，多问自己几个为什么，少点“想当然”“差不多”“显然”之类的话，培养自己的批判精神和创造意识，不要人云亦云、随波逐流，“把脑袋长在自己身上”才会真正阻止错误出现。

3.反思

荀子说：“君子博学而日参省乎己，则知明而行无过矣。”解题也一样，要进行反思才有大的进步，解题后的反思应作为解题的一个重要环节，这样对提高思维的广阔性、深刻性、灵活性、批判性、创造性以及发散性均有很重要的作用。

反思一般从如下两方面进行：

（1）总结与提高

在检验与错误分析之后的反思，其思考的深度显然胜于前者，大致可分为三个阶段进行：

1）审视解题过程，加深对双基的认识。

2）总结解题规律，寻找各方法之间的内在联系。

3）提炼解题思想，优化思维，并在解法上进行拓展。

（2）推广和延拓

一个成熟的解题者最可贵之处是不仅会解题，更重要的是能从所解的问题出发，进行深入的研究和探索。例如，对问题进行推广，对问题的结论进行延伸，对问题的条件与结论进行演变从而发现新问题，使解题者的数学素质和思维品质升华到一个新的层次，它对提高思维的创造性具有不可估量的作用。

1）问题的推广

在解题后还要对问题的结构进行研究，对问题的思路进行整理，扩大题目中条件或结论的范围，由特殊问题推广为一般问题。

2）结论的延伸

有时还可以对结论进一步深化，充分利用联想、类比、归纳、猜想、一般化的方法，得出一系列新的结论。

3）问题的演变

解题后对问题的各种变式进行思考，可以实现从解题人向出题人的飞跃。一般问题的演变常由以下几种途径产生：

①交换命题的条件与结论，把原命题变为其逆命题。

②保留条件、改变结论。

③保留结论、改变条件。

④同时改变条件与结论。

反馈是最富有创造性的思维过程，也是最难掌握和培养的一种思想方法，只有在解题过程中不断总结、不断探索，才能逐步从“偶有所得”走向“游刃有余”，直至硕果累累。