上述关于一般问题解决的模式是在研究各种各样一般问题的解决基础上提出的，尽管对数学问题解决及其教学有一定的指导性，但其所关注的大多是一些很特殊的问题，这些问题以及其他学科的问题的解决过程未必能替代数学问题解决的过程，而且其对数学教育的意义非常有限。因此，一些数学家和数学教育研究者针对数学问题解决过程进行了积极探索，尝试提出了一些关于数学问题解决过程的模式，其中波利亚（G.polya）的模式是最具有代表性的。

波利亚于1957年将数学问题解决过程分为四个阶段：①弄清问题。②拟定计划。③实现计划。④回顾。他在《怎样解题》一书中给出了一个解题表，并就每一阶段给出了提问式的指导性意见，为数学问题解决者提供了一些可供参考的线索。这一模式在数学教育界有一定影响，为数学问题教学提供了重要启示。

（一）程序化的解题系统

怎样解题表就“怎样解题”“教师应教学生做些什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统。既体现常识性，又体现由常识上升为理论（普遍性）的自觉努力。

这四个阶段首先是一个四个步骤的宏观解题程序，其中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易完成，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次，“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节固定下来，是两个有远见的做法，在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容。

“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式识别等）；第二，如果找不到直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题。因此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑、相关问题，分解或重新组合，特殊化、一般化、类比等，这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配。

因此，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体。

（二）启发式的过程分析

波利亚认为“数学有两个侧面，用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。这两个侧面都像数学本身一样古老。但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有‘照本宣科’地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生或教师自己或公众。”他以数十年的时间悉心研究数学启发法，其“怎样解题”的基本思想就可以概括为“知识＋启发法”。

在解题表中，波利亚给出了“启发法小词典”，使读者通过阅读词典开阔思路、指导实践，自己学会怎样解题。

这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识。波利亚认为，数学教育应“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”；他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生，他赞成良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”“应该帮助学生自己再发现所教的内容”“学东西的最好途径是亲自去发现它”；他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯。他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”。教师要“教学生证明问题”，也要“教他们猜想问题”。波利亚提出“合情推理”的概念，号召“让我们教猜想吧！”

在解题表的展开中，波利亚则通过剖析典型例题的思维过程研究、发现和发明的方法和规律。波利亚不断地提问、不断地建议，“怎样才能想出这样的解答呢？”“我自己怎样才能想出或发现它们呢？”这既驱使人们分析解题过程，又要求人们总结发现规律。

波利亚书中的例题，其实就是对典型例题进行解题过程的分析，就是暴露数学解题的思维过程，也就是教人学会解题。

波利亚淋漓尽致地剖析解题过程，实质上已接触到心理层面，但没有用到多少教育学或思维学的相关名词，基本上都是其在数学前沿研究中切身体验的自然流露，数学功底和过程体验发挥了重要作用。这正是数学家研究数学教育的优势，处处有数学的“真刀真枪”，绝非“纸上谈兵”。波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，在“知识”与“组织良好”之间，波利亚更强调后者，他说“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至比知识的广泛更为重要”。用现在的话来说，波利亚在这里强调了“原有的知识经验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用。

（三）开放型的念头诱发

波利亚解释说：“我们表中的问题和建议并不直接提到念头。但实际上，所有的问题和建议都与它有关（可以说解题表中的每一个问句，都是从认知或元认知的角度向读者启发解题念头），弄清问题是为好念头的出现做准备，拟定计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，我们要更好地利用它。”他强调指出：“老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使学生自己想出一个好念头。”在《怎样解题》一书中出现“念头”这个词不下四五十次。(www.daowen.com)

念头有什么用？波利亚说：“它会给你指出整个或部分解题途径。也许有些念头会把你引入歧途，但这并不可怕，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后会突然闪出一个‘好念头’，最糟糕的是没有任何念头，还呆头呆脑地干等着某个念头的降临，而不会做任何事情去加速其来到。”

这里说的念头不仅在字面上比“问题表征”更为浅白，而且在内涵上更为丰富，其实质是开展积极活跃的思维活动，产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语。那么产生念头的基础是什么呢？波利亚的回答是：“过去的经验和已有的知识。如果我们对该问题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。”

波利亚一再提到“好念头”，其实这就是直觉、顿悟或灵感，想出一个好念头是一种“灵感运动”，想象力有了一个突然的跳跃，产生了一个好念头，这是天才的一次闪烁；是我们观点上的重大突变；是我们看问题方式的一个骤然变动，在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感。

波利亚关于念头的种种议论，正是开展积极思维活动的激发与激活。

（四）探索性的问题转换

这里说的“问题转换”，在《怎样解题》一书中亦叫“变化问题”“题目变更”，它揭示了探索解题思路的数学途径，也体现了解题策略的实际运用。波利亚强调：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是容易接近的一侧，我们应从各个方面、各个侧面去试验，我们应变更问题。”“变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们有关的元素接触的新可能性。新问题展现了接触我们以前知识的新可能性，它使我们做出有用接触的希望死而复生。通过变化问题，显露它的某个新方面，新问题会使我们的兴趣油然而生”。

在“怎样解题”表中，波利亚拟出了启发我们不断转换问题的30多个问句或建议：把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，先解决一个更特殊的问题或更一般的问题或类似的问题……那些启发新念头的问句，也往往与问题转换有关。“如果我们不用‘题目变更’，几乎是不能有什么进展的”——就是波利亚的结论。

（五）朴素的数学解题元认知观念

元认知是对认知的再认知，包括元认知知识、元认知体验和元认知监控。虽然元认知概念提出较晚，但元认知思想早就存在，在波利亚的解题思想中存在着朴素的元认知观念。

波利亚解题表的大量问句或建议都不是问别人，而是自己给自己提问题、提建议，这是解题者的自我提问、自我反思。问题中的一部分，其对象针对具体的数学内容，属于认知性的；另一部分则以解题者自身为对象，属于元认知性的。例如，“你以前见过它吗？”“你是否知道一个与此有关的问题？”“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？”等，都不涉及问题的具体内容，都是针对解题主体、对其解题思维活动的反思，都属于元认知提问，而不完全是认知提问。

波利亚解题表中的“回顾”也并不完全是常规解题中的“检验”，主要是有分析地领会所得的解法，它包含着把“问题及其解法”（认知）作为对象进行自觉反思的元认知意图。至于解题表本身所给出的解题程序（一种程序性知识），所体现的解题策略（一种策略性知识）及所进行的元认知提问，都属于元认知知识。波利亚对具体范例的分析，基本上是对“问题及其解法”的再认知，已反映出开发元认知的朴素意图。

波利亚的另一些问句，如“你能不能重新叙述这个问题？”“你能不能用不同的方法重新叙述它？”“你能不能改变未知数、数据或者二者同时改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？”“你能不能一下子看出它来？”等，则属于朴素的元认知体验。

至于解题表本身，则自始至终体现着元认知调控。

综上所述，“解题系统”是波利亚解题思想的整体框架；“分析解题过程”是波利亚解题思想的思维实质；“念头诱发”是波利亚解题思想的外在表现；“问题转换”是波利亚解题思想的具体实现；朴素的元认知观念是波利亚解题思想的心理学基础。而这一切的背后，丰富的数学前沿研究经历和发现体验是波利亚解题思想的物质基础，现代启发法是波利亚解题思想的灵魂，揭示“发现和发明的方法和规律”是波利亚解题思想的目标。