数学课堂教学中有三个基本矛盾关系，数学教师教的主动性与学生学的适应性之间的矛盾关系、数学课程的数学特征与教育特征之间的矛盾关系、数学教学内容与学生原有水平之间的矛盾关系。这三个方面的矛盾稳定和长久地存在于数学教学的全过程，这些矛盾运动的结果使数学教学不断前进。

（一）主动性原则

教学的普遍原则为主动性，然而数学教学中所强调的主动性，具有其自身的特点。数学教学过程的基本规律表明，数学教学实质上就是教师作为教学向导的主角引导学生去探究、去发现，把本来要教的东西变为学生主动去探索他所应该学的东西的过程。学习的主人是学生，他们的数学能力的发展和数学知识的建构最终要通过自己的主观努力才能获得，因而必须参与到数学活动中，这就要求学习者必须积极主动地参与数学活动，即数学教学必须遵循主动性原则。

主动性原则的基本标志是智力参与和独立思考。怎样才算主动？是看学生是否真正投入地进行了数学的思考，是否将自己的思维力、注意力、想象力、观察力等智力活动都参与进来。以动手为主的外部操作性参与必须结合或上升到智力参与的层次才能说教学是主动的。

在教学中突出主动性原则的途径主要有如下两个：

1.在主动学习的方法上多加引导，通过介绍、讨论、对比思考的角度和方法，提高学生独立思考和智力参与的经验和质量。

2.注重培养学生主动探究的意识，要将学生充分置身于探究的情境中，注意激发学生主动参与的兴趣和动力。

（二）发展性原则

通过教学使学生在爱国热情、民族精神、高尚的情操、健全的人格、创造的精神、丰富的知识、敏锐的认识力等各方面获得最大程度的发展，特别是获得可持续发展力为教学的发展性原则。

从具体的数学学科教学的角度考察，以可持续发展为特征的发展性原则主要体现在以下几点：

1.使学生学会学习。保持学生可持续发展力的关键途径是学会学习。要把“教学生怎样学”作为数学教学的基本指导思想，注重对学生学习方法的指导，使学生掌握独立地获取知识的能力、科学研究的基本方法，学会从提出问题、形成假设，到探寻方法、构建概念、验证猜想、语言表述，直至最终构建和解决问题。

2.发展学生的认识力。数学教学的最重要的教学原则之一是要把发展学生的思维力、想象力、洞察力、判断力、鉴赏力、鉴别力、辨析力等认识能力放在最突出的地位。学过的数学知识很容易被忘掉，但在学习数学的过程中所获得的抽象的认识力却作为一种基本的数学素养体现在人的身上，持久地发挥作用。因此，每节数学课都应把发展学生的认识力作为教学的最大目标。

3.使学生充满主动学习的热情。这就要求数学教学以培养学生学习数学的求知欲、好奇心为起点，以激发学生的主动探究数学的积极态度、学习兴趣为原则，始终使学生保持主动学习的动力和热情。

（三）启发性原则

教师作为教学向导的主角，其引导作用主要是通过启发来实现的，而学生作为主动的探究者，也离不开教师适时的启发引导。数学教学的基本指导思想为启发性原则。启发性原则最基本的要求就是教师要站在学生的角度，从学生的思维水平、知识水平、经验水平出发，提出适当的问题，设置合理的问题情境，引导学生思考，使学生的思维向着新知识或问题的目标靠拢，最后达到目标。

“产婆术”和“愤悱术”为教学中启发的两种基本方式。这两种方式都强调通过教师的向导作用引导学生积极主动地学习，但两种方式又有很大的差异。

“产婆术”是由古希腊学者苏格拉底提出的启发式教育思想，他认为学生获得真理正像接生婆帮助产妇以其向力分娩婴儿那样，靠自身的力量去孕育真理，生产真理。其基本要义是教师凭借正确的连环提问，诱导、刺激、调控学生的思考，引导学习者沿着教师所希望的方向，通过自身的思考，亲自去发现真理。“问——答——问——答”是“产婆术”启发式的基本展开方式，所以这种“产婆术”又被称为“对话术”。(www.daowen.com)

“产婆术”的最大特点在于把握发问的技术，这种发问技术是根据学生的不同情况，朝着问题的目标，由远及近地发出具有暗示作用或具有启迪意义的问题，通过学生自身对启迪的领悟，实现对问题的解决。这种启发的方式在数学教学中使用比较普遍，毕竟数学中的很多问题不是学生自己所能够提出来的，很多数学的方法也不是学生自己所能完全独立发现的，对学生而言，数学中多数问题的提出和方法的发现，离不开教师的这种发问式的启迪和暗示。

这种“问答式”启发，由于学生的回答必然朝着教师所引导的方向发展，因而似乎学生比较被动，但是这种发问的关键是教师问而不答，而问题的解决、问题的思考都是学生自己完成的。在这个过程中，学生仍然是积极主动的探索者，教师的向导作用则好比为侦破案件提供一些寻找证据的线索。

愤悱术是我国古代教育家孔子的启发式教育思想，他主张“不愤不启，不悱不发”。“愤”是学生发愤学习，积极思考，想搞明白而没有搞明白的心理状态，这时正需要教师引导他们解除疑团，把问题弄明白，这叫作“启”。“徘”是经过思考，想要表达而又表达不出来的窘境，这时正需要教师指导学生把事情表达出来，这叫作“发”。

“愤悱术”的最大特点在于把握启发的时机，即只有当学生达到独立思考，积极投入，潜心探索的状态时，正是学生“思潮汹涌，呼之欲出”之时，教师不失时机地予以暗示、点拨，才能使学生茅塞顿开，产生水到渠成的启发效果。这是一个由内向外的进发过程，而不是一个由外向内的牵引过程。在这个过程中，学生是独立自主的思索者，教师的向导作用好比指点迷津的指路牌。

相比而言，两种启发方式各有其优势。“产婆术”偏重于教师的发问设计和引导，关注学生思考问题的合理性、自然性，在实际教学中比较便于把握；“愤悱术”更注重学生的自由探究、独立思考，强调关键处的适时点拨，比较难以把握。

（四）理论联系实际的原则

数学与现实世界有着密切的关系。人们认识空间形式和数量规律正是从生产实践和日常生活中开始的，通过对物理世界常识性材料的知觉、感觉形成一定的感性认识，进一步借助经过思维抽象、直观的语言描述、精雕细琢、逐步演化为形式化的数学。抽象数学知识的产生过程离不开生活中的普通常识或者由生活常识发展而来的数学常识。因此，数学教学应遵循理论联系实际的原则，尽可能地从学生已有的生活经验出发，注意突出某些数学对象的实际背景，培养学生使用数学的意识，使抽象的理论化数学与现实原型紧密结合起来。

1.防止理论联系实际的庸俗化

为了加强数学与实际应用的联系，培养学生的数学应用意识，在教学中适当突出某些数学对象的实际背景很有必要。但是要防止走向另一个极端，要反对搞成新“八股”。牵强附会地把每一个内容都搞一个应用背景，不但这些背景不能揭示数学的本质，相反变得庸俗化了。

2.加强数学实际应用的教学

学数学的根本目的还在于学会使用数学，如果数学教学始终停留在理论阶段，学生不知道如何使用数学，那么不仅会使学生感到数学枯燥乏味，从而也使数学教学失去意义。因此，要加强数学实际应用的教学，逐步培养学生的应用意识。一方面，可以在教学中向学生介绍数学在现实社会中的广泛应用，逐步渗透数学与现实世界密切联系的观点；另一方面，教学中多注意引导、鼓励学生使用数学知识解决一些力所能及的实际问题，尝试让学生从实际情境中发现问题，建立数学模型，体会数学的应用价值。

3.突出某些数学对象的实际背景

例如，概率统计中的“独立重复试验”，就是基于生活中只会出现两个结果的事件。教学中就应突出其实际背景材料，使学生借助相应的现实原型分析思考，亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程。数学对象的实际背景一般具有较强的生动性和趣味性，以此引入新知识，不仅能激发学生主动探究的热情，还为学生建构新知识的意义提供了可以支撑的“脚手架”，可以说是理论联系实际原则的最好体现。但要注意，并不是所有的数学对象都能找到合适的实际背景，有时候也不一定非要呈现不合时宜的实际背景，应根据数学教学的现实情况灵活机动地处理。

4.使学生适时借助已有的生活经验理解数学

有些抽象的数学知识能够直接或间接地与学生的生活经验联系起来，教学过程中就要注意引导。利用这种联系，使学生借助自己的亲身经历和个人体验理解知识，解决问题。从而使抽象的数学知识建构在学生具有深刻体验的、容易引起共鸣的经验之上，建构在学生容易认识、熟悉的事物之上。