问题

小明站在一个小山上，想要测量这个山的高度。他站在山上，采取了最原始的方法：从小山向下丢一小石子，他于5 s后听到了从小山下传来的回音。请各位尝试建立数学模型估计小山丘的高度。

解题思路

数学建模的初学者一看到这个问题也许会认为数学建模并不是一件困难的事情，因为很多学生在高中时就遇到过类似的问题。确实是这样，这是一个比较简单的实际问题（数学建模问题），大家很容易得到如下结果：

运用自由落体公式可以计算出山的高度。也许有人会提出疑问：上述运算是数学建模吗？如果是，这样数学建模不是很简单吗？

是的，可以认为这样的过程就是数学建模。上述建立的模型可以称为最理想的自由落体模型，因为这是在非常理想化状态下建立的模型，它没有考虑任何其他可能影响测量的因素。数学模型就是一个解决实际问题的方法。解决问题即可视为数学建模，解决问题时所用到的数学结构式即为数学模型。但是在此需要说明一点：数学建模问题与其他数学问题不同，数学建模问题的结果本身没有对错之分，但有优劣之分。建立模型解决问题也许不难，但需要所建立的数学模型有效地指导实际工作就比较困难。这正是数学建模的难点所在。下面继续通过这个例子来解释数学模型间的优劣之分。

虽然上述理想的自由落体模型可以计算出山的高度，但计算所得到的结果可能存在较大的误差。122.5 m这个答案在中学考试中应该是一个标准答案，不会认为这个答案是错误的。但是，专业测量队在测量山高时绝对不会采用上述计算得到的结果。因为它可能存在较大的误差，所以它是不能被接受的。在研究这个问题时请不要忘记：现在我们研究的不再是一个抽象的理论问题而是具体的实际问题。所建立的数学模型或者结果应该能对实际工作有较强的指导意义，应该尽力使求得的答案贴近事实。

那么，在这个问题中还需要考虑哪些因素？例如人的反应时间，在现实中这是一个需要考虑的因素。通过查找资料，可以知道人的反应时间约为0.1 s，那么计算式在结果上能够得到改善。

通过上面的分析可以认为，117.649 m比122.5 m更加接近实际情况。相比理想的自由落体模型，以上的数学建模过程可以称为修正的自由落体模型。就实际测量而言，修正的自由落体模型比理想的自由落体模型更加优秀，因为得到的结果更加接近实际。两种模型得到的答案也可以说都是正确的，两种答案都是基于不同的假设前提而得到。理想的自由落体模型假设不考虑人的反应时间。如果读者作为专业测量队的队长，相信你也会选择修正自由落体模型，因为它得到的答案更加接近实际情况。

在考虑人的反应时间这一因素后，还有没有其他因素需要考虑，例如空气阻力？如果高达117.649 m的山上丢下石子，能不考虑空气阻力吗？各位有了大学生的思维外，还有了大学生的手段——微积分。通过查阅相关资料，可以发现石头所受空气阻力和速度成正比，阻力系数与质量之比为0.2。由此又可以建立以下微分方程模型：

式中　f——空气阻力（N）；

k——阻力系数（N·s/m）；(www.daowen.com)

m——石头质量（kg）。

解微分方程得

积分得

可以发现，计算结果得到了很大的改善，理想的自由落体模型计算方法得到的山高122.5 m的确存在着较大的误差。

如果用心，大家可以做得更好。在实际生活中，回音传播时间是另一个不可忽略的因素。因此在上述模型的基础上引入回音传播时间t2，对模型进行如下修改：

解得　

H＝79.96 m

在这个例题中，先后呈现了四种不同的解题方法，也可以说四种不同的数学模型。从理想的自由落体数学模型获得的122.5 m到考虑人的反应、阻力、回音的数学模型获得的是79.96 m，可见理想模型的122.5 m存在非常大误差，相对误差超过了50%。

希望大家能够通过这个例子体会到数学模型的真谛：能够解决问题的方法就是数学模型，其本身没有对错之分。以上四种模型计算得到的答案应该说都是正确的，但是却有优劣之分，问题在于思考的角度。它是一种新的思维方法，从上面的例子可以得到。数学模型往往是以下两个方面的权衡：

（1）数学建模是用以解决实际问题的，所建立的模型不能太理想、太简单，过于理想化的模型往往脱离实际情况，这就违背了建模的目的。

（2）数学建模必须是以能够求解为前提的，建立的模型一定要能够求出解，所建立的模型不能过于实际，过于实际的模型往往难以求解，因此做适当合理的简化假设是十分重要的。