非线性现象广泛存在于物质世界与社会生活中.在工程和科学计算中，如电路和电力系统计算、非线性力学、非线性微分和积分方程、非线性规划等众多领域中，常涉及非线性方程或非线性方程组的求解问题.

Galois简介

在非线性方程的求解中，多项式求根是最常见、最简单的情形，例如想通过矩阵的特征多项式求特征根，就会遇到这一问题.根据代数基本定理，在复数域内，n次代数多项式有且只有n个根，而由伽罗华理论，5次以上（含5次）的多项式方程无求根公式，例如求代数方程

6x6+3x5+2x2-4x-8=0

的根.从而近似求解方程就成为必须的了，其中数值求解方法是近似方法中的重要方法之一.

除了多项式求根之外，更多的是超越方程求根问题.超越方程是指包含指数函数、三角函数等特殊函数的方程.例如，在天体力学中，有如下开普勒方程(www.daowen.com)

x-t-εsin x=0　（0＜ε＜1）

式中，t表示时间；x表示弧度.行星运动的轨道x是t的函数，也就是说，对每个时刻ti，上述方程（超越方程）有唯一解xi（运动轨道位置）.但xi却不能由上述方程精确解出，通常是用数值方法求其近似解.

又如求解非线性方程组

上述这些问题，都归结为寻求非线性函数方程的零点，即求x*使f（x*）=0.x*称为方程或方程组（f为向量函数时）的根或函数f（x）的零点.

由于自然现象和实际问题的复杂性，对于函数方程和方程组求解问题，没有哪一种方法能求出一般方程的准确解.因此，求其数值解就非常必要了.本章首先讨论非线性方程求根问题的数值方法.