在工程技术问题中，例如用有限元方法解结构力学中问题时，常常需要求解对称正定矩阵方程组，对于这种具有特殊性质系数的矩阵，利用矩阵的三角分解求解就得到解对称正定方程组的平方根法.平方根法是解对称正定方程组的有效方法，目前在计算机上被广泛应用.

Cholesky简介

对称正定矩阵的Cholesky方法

Andre Louis Cholesky（1875—1918）是一位法国军官，他在第一次世界大战之前，参加了在克里特岛和北非的大地测量和调查.为了求解大地测量中出现的最小二乘数据拟合问题的法方程，他提出了后来以他的名字命名的方法.在他死后的1924年，一位叫Benoit的军官以Cholesky的名义在Bulletin Geodesique（测地学快报）上发表了这项工作.

2）改进的平方根法

由式（2-11）可知，用平方根法解对称正定矩阵方程组时，计算L的元素lii需要用到开方运算.为避开开方运算，我们将平方根法改进得到改进的平方根法，该算法既适合A对称正定，也适合A对称且顺序主子式全不为零的情况.

（1）LDLT分解算法.因为对称正定矩阵有唯一的分解A=LDLT，即

解Ly=b，得y=（6，1-1）T.

解LTx=D-1y，得x=（2，1，-1）T.(www.daowen.com)

注　①改进的平方根分解算法的计算量约为n3/6次乘除法，但没有开方运算.

②平方根法或改进的平方根法是目前计算机上解对称正定方程组的一个有效方法，比消去法优越.其计算量和存贮量都比消去法大约节省一半，且数值稳定、不需要选主元，能求得较高精度的计算解.

解方程组的改进的平方根法的Matlab程序（LDL__Factorization.m）如下：

%改进的平方根法解方程组，其中，

%A为要分解的矩阵；

%b为方程组的右端常数项；

%x为方程组的解；