鉴于定性和定量评价方法的优缺点，运用定性和定量相结合的方法，能够较为准确、客观地对信息分析成果做出评价。目前，在信息分析成果评价过程中，层次分析法是常用的定性和定量相结合的综合评价方法。

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是20世纪70年代初美国运筹学家、匹兹堡大学教授萨蒂（T.L.Saaty）提出的一种实用的多准则评价方法。该方法被广泛运用于工程、经济、军事、政治、外交等领域，可以解决诸如系统评价、资源分配、价格预测、项目选择等许多重要问题。

层次分析法本质上是一种决策思维方式，它把复杂的问题分解为各组成因素，将这些因素按支配关系分组以形成有序的递阶层次结构。通过对客观现实的主观判断，就每一层次的相对重要性给予定量表示；最后用数学方法确定每一层次中全部因素相对重要性次序。^[24]由于这种方法在解决目标决策方面较其他方法更为简便、实用，因此广泛用于信息分析成果的评价。

4.4.3.1　层次分析法的特点

（1）面对具有层次结构的整体问题综合评价，采取逐层分解，变为多个单准则评价问题，在多个单准则评价的基础上进行综合。

（2）为解决定性因素的处理及可比性问题，萨蒂教授建议：以“重要性”（数学表现为权值）比较作为统一的处理格式，并将比较结果按重要程度以1级至9级进行量化标度。

（3）检验与调整比较链上的传递性，即检验一致性的可接受程度。

（4）对汇集全部比较信息的矩阵集，使用线性代数理论与方法加以处理。挖掘出深层次的、实质性的综合信息作为决策支持。^[25]

4.4.3.2　层次分析法的基本步骤

（1）建立递阶层次结构。

根据项目的性质和目标，将信息分析成果分解为不同的评价因素，再按照各因素间的相互关系，按层次分别聚类，形成一个层次分明的结构模型。模型一般包括目标层、准则层、子准则层和指标层，呈递阶层次结构。递阶层次结构模型，如图4.6所示。

图4.6　递阶层次结构模型

目标层：一般是解决问题所要达到的目的，在信息分析成果评价中主要指评价目标。

准则层：主要指构成目标的不同因素和属性。其中，每一准则应该能够表达评价目标的不同侧面，且各准则之间应该相互独立。

方案层：包括可供选择的各种评价对象或者评价方案。

递阶层次结构按分层组合来处理信息分析成果评价问题，这比采用其他方法要迅速有效得多。它既可以用来描述高层次中因素排序变化对低层次中因素排序的影响，也可以在较低层次中提供关于信息分析成果的结构和功能的详细信息，并在较高层次上使人们对信息分析成果评价目标有一个整体性的了解。人们在构造递阶层次结构模型时首先考虑的是方便，各层次联系是自然的，必要时还可以将不合理的层次进行分解或完全取消。

（2）构造判断矩阵。

在构建出递阶层次结构之后，信息分析人员可以根据每个准则对实现总目标作出的贡献，来判断每个准则的相对重要性。具体做法是针对某一准则，两两比较不同的方案，建立判断矩阵，这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式，即所谓的判断矩阵。

采用两两比较的方法与将所有元素都与某一元素比较的方法不仅可以减少比较的次数，更重要的是可以降低个别判断错误对总体排序所造成的影响，避免系统性判断错误。层次分析法充分利用人类善于进行分析比较的优势，将各种因素之间的成对比较值作为判断矩阵的元素。显然，这对分析目前尚无统一度量尺度的经济、科技、人的行为、科学管理及信息分析成果评价等复杂问题显得直观明了。判断矩阵的一般表达式，如图4.7所示。

图4.7　判断矩阵的一般表达式

其中，ak表示A层次中的第k个因素，B1，B2，…，Bn表示与ak因素有关的下一层次因素，bij表示与ak因素有关的下一层次因素Bi和Bj的两两对比值（显然，对B1，B2，…，Bn各因素，需要进行C2n次成对比较）。bij值由专家依据萨蒂专门设计的1～9尺度法从表4.14中选取。

表4.14　判断矩阵尺度及其含义

在萨蒂设计的1～9尺度法中，bij的取值范围是1，2，…，9及其互反数1，。萨蒂这样做的理由是：

第一，在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级。

第二，心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人的判断能力，最多大致在7±2范围。如以9个为限，用1～9尺度表示它们之间的差别正合适。

第三，萨蒂曾用1～3，1～5，…，1～17，…，（d＋0.1）～（d＋0.9）（d＝1，2，3，4），1p～9p（p＝2，3，4，5）等共27种比较尺度，对在不同距离处判断某光源的亮度等实例构造成对比较阵，并算出权向量。把这些权向量与按照光强定律等物理知识得到的实际的权向量进行对比发现，1～9尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且结果并不劣于较复杂的尺度。

由萨蒂1～9尺度法得到的判断矩阵具有以下特点：

（3）一致性检验。

层次单排序是针对某一准则，排列出各种方案。采用方根法求解上述矩阵中各评价准则重要性的权值，可归结为计算该判断矩阵的最大特征根及相应的特征向量。每个特征向量的各分量即各准则的权重值。

在矩阵理论中，人们将具有式4.9特点的矩阵称为正互反矩阵。在层次分析法中，这个正互反矩阵除了具有式4.9显示的特点外，还具有这样的独特性，即任何一个专家在对复杂系统按层次分析法中判断矩阵的构成进行逐对判断时，其结果原则上应满足式4.10：

例如，对于判断矩阵

事实上，由于客观事物的复杂性和人们认识能力的局限性，人们在对客观事物进行判断时，难免会出现一些或大或小的差错。在实践中，上述不一致现象几乎是无法避免的。专家的判断严格符合式4.10，只能理解成一种理想状态，要求专家在实践中真正做到这一点，未免显得太苛刻了。萨蒂认为，若不一致性很小并且在容许的范围之内，则可以考虑接受所得到的结论；但是，如果不一致性太大，超出了容许的范围，则所得到的结论不能被接受，专家的判断是无效的。这就引入了这样一个问题：“什么是不一致性的容许范围？”一致性检验正是解决这个问题的。为了保证利用层次分析法得到的结论基本合理，必须对专家对客观事物的定性分析判断进行严格的“是否一致”的定量检验。

我们先举一个专家判断完全一致的例子。设有一块大石头A，其重量为w。现将该石头砸成n块小石头B1，B2，…，Bn，其重量分别为w1，w2，…，wn。我们把这些小石头的重量互相逐对比较，可得到由重量比值作为元素构成的判断矩阵B：

显然，上述判断矩阵符合式4.9和式4.10，具有完全一致性。此时，我们将B称为n阶一致性矩阵。n块小石头对大石头的权重可用向量w＝（w1，w2，…wn）T表示。若大石头的重量为单位重量，则有。

在矩阵理论中，可以证明，n阶一致性矩阵具有如下性质：

第一，B的秩为1，B的唯一非零特征根为n。

第二，B的任一列（行）向量都是对应于特征根n的特征向量。

如果得到的判断矩阵是一致性矩阵，就应取对应于特征根n的、归一化后的特征向量表示各因素B1，B2，…，Bn（小石头）对上层因素A（大石头）的权重。这个向量称为权向量。

如果得到的判断矩阵不是一致性矩阵，但在不一致性容许的范围内，萨蒂建议用对应于B最大特征根（λmax）的、归一化后的特征向量作为权向量w。

在实际的一致性检验中，要先计算出最大特征根λmax的近似值，λmax的值越接近n（判断矩阵的阶数），则判断矩阵的一致性就越好。有了λmax值，就可以用一致性指标CI来表示一致性偏差。CI的计算公式为：

矩阵的阶数越大，完全一致性就越难达到。为测量不同阶数的判断矩阵的一致性程度的容许范围，萨蒂又引入阶数为n的判断矩阵平均随机一致性指标RI。它是用随机方法构造出500个样本矩阵，然后计算得到的平均值。RI值可由表4.15查出。

表4.15　RI取值表

表中n＝1，2时，RI＝0，是因为阶数为1，2的判断矩阵总是具有完全一致性。

对于n≥3的判断矩阵，将其一致性指标CI与同阶（指n相同）平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR。当式4.13成立时，即认为判断矩阵具有满意的一致性（即判断矩阵的一致性程度在容许范围之内）。否则应重新进行成对比较，调整判断矩阵的元素，使之达到满意的一致性为止。

（4）层次单排序的计算。

层次单排序可归结为如何计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。特征向量反映了某层次因素相对于上一层次某因素的相对重要性。严格的计算方法是幂法。在计算机的支持下，利用这种方法可以得到任意精确度的最大特征根及其对应的特征向量。这里，我们介绍两种简易算法，即方根法和和积法。

方根法的计算步骤如下：

第一步：计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi

第二步：计算Mi的n次方根wi

第三步：对向量进行归一化处理，即使

w＝（w1，w2，…，wn）T就是判断矩阵的特征向量。

第四步：计算判断矩阵的最大特征根λmax

其中（Bw）i表示向量Bw的第i个元素。

第五步：一致性检验

先计算出，再计算出随机一致性比率 。当CR≤0.10时，则认为该判断具有满意的一致性。

和积法的计算步骤如下：

第一步：将判断矩阵每一列元素进行归一化处理

第二步：将归一化后的判断矩阵按行相加

第三步：对向量进行归一化处理

w＝（w1，w2，…，wn）T就是判断矩阵的特征向量。

第四步：计算判断矩阵的最大特征根λmax

式中（Bw）i同样表示向量Bw的第i个元素。

第五步：一致性检验

先计算出，再计算出随机一致性比率 。当CR≤0.10时，则认为该判断具有满意的一致性。

（5）层次总排序。

层次总排序即求出某一层所有元素对于最高目标的相对重要性的排序权值，这一过程自上而下逐层进行。

如果考虑到上一层次某个因素在其层次中的相对重要性，然后和下一层次的因素加权，就可得到下一层次因素相对于上一层次整个层次的组合权值，这就是层次总排序。为了求出最低层次所有因素对于最高层的相对重要性的权重向量，可采用逐层叠加的方法，从最高层次开始，由高向低逐层进行计算。假设总目标下的第一层次A有m个因素A1，A2，…，Am，相邻的下一层次B有n个因素B1，B2，…，Bn，通过单层次的计算，已得出A层的单层排序权值a1，a2，…，am，以及B层因素B1，B2，…，Bn对于Aj的单层排序权值b1j，b2j，…，bnj（当某一因素Bk与Aj无联系时，bkj＝0），则B层次对总目标的层次总排序值可由表4.16给出。

表4.16　层次总排序计算表

如此类推，可以推算出所有层次对总目标的层次总排序值。

（6）层次总排序的一致性检验

层次总排序与层次单排序的一致性检验相同，每进行一层的递推，都必须作相应的层次总排序的一致性检验。假定B层次因素对于Aj单排序的一致性指标为CIj，相应的平均随机一致性指标为RIj，则B层次总排序的随机一致性比率为：

当求出的CR≤0.10时，表明该层次总排序的结果具有满意的一致性。一致性检验分为单排序判断矩阵的一致性检验和总排序判断矩阵的一致性检验。如果一致性检验结果出现错误，应该检查判断矩阵中各元素间的关系有无错误，进行调查直到结果准确或达到一致性。

4.4.3.3　层次分析法的应用(www.daowen.com)

层次分析法是一种定性分析和定量分析相结合的、系统化、层次化的分析方法，由于该方法在处理复杂的评估问题时具有较好的有效性和实用性，因此，很快在世界各国得到学者的重视，同时在实践过程中也发挥了重大作用。

（1）层次分析法的应用程序。

当运用层次分析法进行评估时，一般要经历以下几个主要阶段：第一，要建立科学的递阶层次结构；第二，要构造能够两两比较的判断矩阵；第三，根据各标准计算指标权重，并进行一致性检验；第四，层次总排序并进行一致性检验。

（2）应用层次分析法的注意事项。

在应用层次分析法时，必须满足以下几个前提：第一，各层的要素必须是已知的，并且条理结构清晰，能够按层次区分排列；第二，同一层中的各要素的关系是平等的，而各要素间相互独立，不存在显著的相关性；第三，最底层的指标可以被量化，并能够通过一定的方法测量；第四，需要明确各层次间要素的影响关系。

层次分析法应用案例

层次分析法在给水工程方案评价中的应用^[26]

层次分析法是用系统工程原理分析问题的一种新的决策方法，也是一种定性和定量相结合的分析方法。用层次分析法对给水系统进行分析，就是要将问题层次化。根据问题的性质和要达到的总目标，分解为不同的组成因素，并按各因素的相互关联影响和隶属关系，将各因素按不同层次容集组合，形成一个多层次的分析结构模型，并最终把系统分析归纳为最低层（供决策的方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题，下面以南佐镇给水工程为例，用层次分析法对给水工程方案进行综合评价。

一、基本概况

南佐镇位于河北省石家庄市元氏县西部丘陵山区，全镇8000人，耕地1.1万亩。近几年来，由于干旱少雨和乡镇企业用水量的增加，致使该区地下水位下降，原有的饮水井相继干涸，人畜饮水发生困难。迫切需要建设给水工程。

我们在大量调查研究的基础上，提出了以下四种方案供给水系统选择：（1）修建小型水库2座，拦蓄地上水；（2）远距离调治河灌渠水；（3）分区联片，采用深层地下水供水；（4）多点分散采用深井供水。

二、层次分析模型的建立

采用效益-代价分析法，结合该工程的实际条件及其相关因素间的相互影响及隶属关系，按不同层次聚合，形成一个多层次的分析结构模型。该模型由总目标（效益），两个子目标（效益、代价）、三个层次（目标层、准则层、方案层）及四种方案组成。如图4.8所示。

图4.8　元氏县南佐镇给水方案层次分析模型

三、建立判断矩阵

根据屡次分析模型，需对每一层次中各因素的相对重要性给予判断。这些判断通过引入合适的标度用数值表示出来，写成判断矩阵。判断矩阵表示针对上一层次某因素，本层次与之有关因素之间相对重要性的比较。假定A层因素中ak与下一层次中B1，B2，…，Bn有联系，则构造的判断矩阵一般取下列形式。

矩阵中单元bij是两单元相对于ak的优劣程度，一般称为标度，可参见表4.17确定。

表4.17　判断矩阵标度及其含义

续表

根据现场调查和专家综合评判意见，南佐镇给水系统目标层与准则层及因素层之间以及各因素之间相对影响程度的定量分析如下：

（1）判断矩阵U-O。兴建给水工程后产生的效益从三方面考虑，即经济、社会环境和技术效益，构造矩阵如下：

同样可以作出准则层对方案层的判断矩阵O1-M，O2-M，O3-M，构造的判断矩阵如下：

O1-M矩阵为：

O2-M矩阵为：

O3-M矩阵为：

（2）通过对兴建给水工程遇到问题的分析可以看到，我们需要付出的代价主要包括两个方面；一是经济，二是社会代价。类似地构造判断矩阵P-C及C-M如下：

P-C矩阵为

C1-M1矩阵为

C2-M矩阵为

四、层次单排序计算及其一致性检验

（一）层次单排序的计算

层次单排序就是把本层所有各元素对上层次来说，排出评比顺序，这就要在判断矩阵上进行计算，最常用的两种近似计算方法有和积法和方根法，本次采用方根法。

（1）计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi：

（2）计算Mi的n次方根：

（3）对向量正规化，即：

则W＝[W1，W2，…，Wn]τ即为所求的特征向量。

（4）计算判断矩阵的最大特征根λmax：

式中（AW）i表示向量AW的第i个元素。

（二）一致性检验

由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，以及可能产生的片面性，要求每一个判断都有完全的一致性显然是不可能的，特别是因素多规模大的问题更是如此。因此，为了保证应用层次分析法分析得到的结论基本合理，还需要对构造的判断矩阵进行一致性检验。

（1）计算一致性指标CI：

（2）计算平均随机一致性指标RI值，对于1～9阶判断矩阵，RI值见表4.18。

表4.18　不同阶时RI的值

（3）计算随机一致性比率CR：

当CR＜0.10时，即认为判断矩阵具有满意的一致性。否则就需要调整判断矩阵，并使之具有满意的一致性。

（三）计算分析结果

各判断矩阵各种指标计算如下：

对于判断矩阵U-O

对于判断矩阵O1-M

对于判断矩阵O2-M

对于判断矩阵O3-M

对于矩阵C1-M

对于矩阵C2-M

五、层次总排序计算及一致性检验

计算同一层次所有因素对于最高层（总目标），相对重要性的排序权值，称为层次总排序。利用以上层次单排序的计算结果计算层次总排序如表4.19。

表4.19　效益总排序计算表

层次总排序的一致性检验，这一步骤也是从高到低逐层进行的，如果M层次某些因素对于O单排序的一致性指标为CI；相应的平均随机一致性指标为CR1，则M层次总排序随机一致性比率为：

当RI＜0.10时，认为层次总排序结果具有满意的一致性。

对于效益排序，CI＝0.048；RI＝0.9；CR＝0.053＜0.10

类似地可作代价子目标总排序计算及一致性检验如表4.20。

表4.20　代价子目标总排序

六、结果分析

表4.21　层次分析结果表

从表4.21可以看出，利用深层地下水，采用分区联片供水具有最高的综合效益。该结果与单凭效益得到的结果大不相同，如多点分散式供水对应的分量最大，为0.357，其次为分区联片供水，为0.303，这说明虽然分区联片供水看上去综合效益较低，但它花费的代价较小，比较容易以较少的投资迅速生效，而且便于给水工程的集中管理，可以优先实施。