指数平滑（S）法是对移动平均法的改进。我们进一步考察移动平均法，可以看出，在式3.14中，每个数据权重相等，均为1/n，这意味着不同时间上的数据具有相同的价值，这在一般的预测中显然是不合理的。如果认为参加计算的每一数据对预测结果的影响程度不同，就应该对这些数据分别给予不同的权值。指数平滑法正是基于这一思想。权值的选择取决于信息分析人员的预测经验。由于近期数据的影响较大，通常可赋予较大权值。

本节所讨论的指数平滑法实质上是指数加权移动平均法。

3.4.2.1　一次指数平滑

（1）基本公式。

若以α代表权数，则原始时间序列数据的加权移动平均值可表示为：

其中，α1＞α2…＞αn

且

若α1，α2，…，αn呈等比数列，公比为γ＝1－α，则权数数列为：

α,α(1－α),α(1－α)2,…

类似地有：

由式3.21和式3.22得

由于αγnyt－n很小，可忽略不计，于是

（2）平滑常数α的含义及取值。

①预测结果对α的依赖性

α的取值反映了新旧数据所占的分配比例，对预测结果直接产生影响。因此，预测的结果依赖于α的选择。

α的取值有两种极端情况：

当α＝0时，，即平滑值维持不变；

当α＝1时，，即平滑值等于最新的观察值。

一般地，α选得小一些，预测值趋向就较平稳，“修匀”效果越显著；α选得大一些，近期数据所占的比重越大，对变化的反映越灵敏，但“修匀”的效果越不明显。

②α值与n值的关系

在对波动曲线的“修匀”作用上，α值与n值的取值方向正好相反。即在移动平均法中，n值越大，“修匀”效果越显著；而在指数平滑法中，α值越小，“修匀”效果越显著，即。在实际应用中，一般取

③α取值的经验选择

如果我们希望选取的α值使预测误差的方差尽可能小的话，那么α值的选择就应以残差平方和最小为标准，即α值应使：

这里Q是α的函数，一般可采用0.618法求出使Q达到最小值的α值。

根据一般的经验，α的取值范围通常是0.01≤α＜0.3。

（3）计算实例。

根据表3.10中所列的一组时间序列数据yt，分别取加权系数α＝0.3和α＝0.1，计算其一次指数平滑值。

表3.10　原始数据及一次、二次、三次指数平滑值计算结果

解：先设初始值，按式3.22计算α＝0.3的一次指数平滑值，并填于表3.8中。

……

以同样方法逐项计算α＝0.1时的，并填于表3.9中。

3.4.2.2　二次指数平滑

（1）基本公式。

二次指数平滑是对一次指数平滑值再进行一次平滑，计算公式如下：

（2）计算实例。(www.daowen.com)

根据表3.8中的计算数据，分别取加权系数α＝0.3和α＝0.1，计算二次指数平滑值。

解：先设初始值，按式3.25计算α＝0.3的二次指数平滑值，并填于表3.8中。

以同样方法逐项计算α＝0.1时的，并填于表3.8中。

3.4.2.3　模型与计算

与移动平均法相似，当时间序列数据有线性趋势时，对yt、对也存在滞后偏差的问题。因此，只能用于简易预测。为了改善预测效果，我们可以利用求出平滑系数，建立线性指数平滑模型再进行预测。

设已观察到时间t以前的序列值yt，现要预测未来时刻t＋T的序列值。由于序列具有线性趋势，因此可假定线性指数平滑模型的一般形式为：

这里，为第t＋T周期的预测值；T为由目前周期t到需要预测的周期之间的周期个数；at与bt为平滑系数（at为截距，bt为斜率），依赖于t以前的yt观察值。at、bt的计算公式为：

下面给出一个计算实例。

根据表3.10中的计算数据，建立线性指数平滑模型并计算未来2期的预测值。

解：取α＝0.3，由表3.8查得：

代入式3.27得：

代入式3.28得：

∴预测模型为：

以T＝1、2分别代入上式得未来2期的预测值：

3.4.2.4　三次指数平滑

除了线性指数平滑模型外，还有非线性指数平滑模型。后者一般采用三次指数平滑法，它几乎适用于所有的应用问题，因而使用比较广泛。

（1）基本公式。

（2）非线性指数平滑模型的建立。

非线性指数平滑模型的一般形式为：

这三个平滑系数的计算公式如下：

（3）计算实例。

根据表3.10中的计算数据，建立非线性指数平滑模型，并计算未来2期的预测值。

解：

①计算三次指数平滑值。其计算方法与一、二次指数平滑值的计算方法相似，分别取α＝0.3，α＝0.1，按式3.29计算得结果，并填于表3.10中。

②计算平滑系数并求出平滑模型。取α＝0.3，由表3.10查得，

代入式3.30、式3.31和式3.32可得：

∴预测模型为：

③计算未来2期的预测值。以T＝1、2分别代入上式，得：