把一个码表示成多项式的形式后,码的循环特性将以如下方式表示出来。如果U(X)是一个(n-1)阶的码字多项式,那么,U(i)(X),即XiU(X)除以Xn+1得到的余项同样是一个码字,即

或者,两边同乘以Xn+1,

同样可以将它描述成取模的算术形式,即

其中,x模y定义为x除以y后得到的余式。下面对i=1的情形验证式(8.43)的有效性:

现在加减un-1;或者,由于使用的是模2算术运算,将un-1加两次,

因为U(1)(X)是n-1阶的,它不能被Xn+1除,这样,根据式(8.42a),有

经过扩展,得到式(8.43),即(www.daowen.com)

【例8.7】码矢量的循环移位

对n=4,设U=1101,把码字表示成多项式的形式,并且根据式(8.43),求出循环移位3比特后得到的码字。

解:　U(X)=1+X+X3　　　　　(多项式按阶数从低到高排列)

XiU(X)=X3+X4+X6　　　其中i=3

将X3U(X)除以X4+1,用多项式除法求出余式:

将余式写成低阶到高阶的形式:1+X2+X3,码字U(3)=1011是U=1101循环移位3位的结果。注意,对于二进制码,加法操作是模2运算,所以+1=-1,因此计算中没有出现任何负号。