设r=r1,r2,…,rn是一个接收矢量(2n个n元组中的一个),由传输的U=u1,u2,…,un(2k个n元组中的一个)产生。可以将r写成

其中,e=e1,e2,…,en是错误矢量,是由信道引入的错误图样,在2n个n元组空间中存在2n-1个非零的潜在错误图样。r的伴随式(也称校正子)定义为

伴随式是对r进行监督校验的结果,它用来确定r是否是一个有效码字。如果r是有效码字,则S的值将为0;如果r包含可检测到的错误,伴随式将有非零值;如果r包含可纠正的错误,伴随式将有特殊的非零值来指示特定的错误图样。译码器根据要求实现FEC或ARQ,采取措施定位错误并加以纠正(FEC)或请求一个重传(ARQ)。联合式(8.23)和式(8.24),r的伴随式表示为

然而,对所有的码矢量都有UHT=0,所以

前面从式(8.23)开始到式(8.26)的推导,说明不论是受干扰码字矢量还是错误图样,伴随式检验都能得到相同的伴随式。线性分组码的一个重要性质是(也是译码的基础),错误图样与伴随式之间是一一对应的。

注意监督矩阵所必需的两个性质:

1.H中没有全0列,否则的话,相应码字位置上的错误就无法影响伴随式,因而无法检测。(www.daowen.com)

2.H中的所有列是唯一的,如果H有两列相同,那么对应这两列发生的错码位置将无法识别。

【例8.4】伴随式检验

假设发送码字U=101110,接收矢量为r=001110,即最左边一比特接收错误。试求伴随式矢量S=rHT并证明它等于eHT。

解:

下面证明这个受干扰码字矢量的伴随式与错误图样的伴随式相等: