矢量空间Vn的一个子集S如果满足以下两个条件,则称为子空间(subspace):

1.全0矢量在S中;

2.S中任意两个矢量的和也在S中(即满足封闭性)。

这些性质是线性分组码(linear block code)的基本性质。假设Vi和Vj是(n,k)二进制分组码中的两个码字(或码矢量),当且仅当(Vi⊕Vj)也是一个码矢量时,这个码才是线性的。一个线性分组码,它的子集以外的矢量不能由该子集内的码字相加产生。

例如,矢量空间V4总共由下面的24=16个4元组组成:

由V4形成的一个子集如下:(www.daowen.com)

容易证明,任意两个矢量的和只能得到子集中的其他成员。一个由2k个n元组组成的集合称为线性分组码,当且仅当它是所有n元组的矢量空间Vn的一个子集。图8.4用一个简单的几何结构类比线性分组码的结构。假设矢量空间Vn包含个2n个n元组,矢量空间中的2k个n元组的子集组成一个子空间。这2k个矢量或点“稀疏分布”在大量的2n个点中,表示合法和许用码字(legitimate or allowable codeword)。信息被编码为2k个许用码矢量中的一个,然后发送。由于信道中存在噪声,接收到的可能是一个受干扰的码字。如果这个受干扰的码字与有效的码字相差不是很远,译码器可以将信息正确译码。选择一个特定编码的基本目标与选择一个调制波形集是相似的,可以根据图8.4表述如下。

1.用尽可能多的码字构造Vn空间,以争取高的编码效率。也就是说,希望使用很少的冗余度(附加带宽)。

2.希望码字间的距离越远越好,这样即使矢量在传输中受到干扰,它们仍然能以很高的概率被正确译码。

图8.4　线性分组码结构