（1）无偏性

设是总体未知参数θ的估计量，如果，则称是θ的无偏估计量.

（2）有效性

设，是总体未知参数θ的两个无偏估计量，如果，则称是比有效的估计量.

例16.1 设X₁，X₂，…，X_n为来自正态总体N（μ₀，σ²）的简单随机样本，其中μ₀已知，σ²＞0未知.与S²分别表示样本均值和样本方差.

（1）求参数σ²的最大似然估计量；

（2）计算和.

精解 （1）总体的概率密度为，记样本的观察值为x₁，x₂，…，x_n，则似然函数为

即

由此得至

令得从而σ²的最大似然估计量为

（2）由于，所以

例16.2 设总体X的概率密度为

其中参数λ未知，X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本.

（1）求参数λ的矩估计量；

（2）求参数λ的最大似然估计量.

精解 （1）X的数学期望为

令，即由此得到λ的矩估计量为

（2）记X₁，X₂，…，X_n的观察值为x₁，x₂，…，x_n，则似然函数

显然L（λ）只能在x₁，x₂，…，x_n＞0时才能取到最大值，所以可以化简L（λ）为

即

由此可得

令得，因此λ的最大似然估计量为

例16.3 设总体X的概率密度为

其中θ（0＜θ＜1）未知，X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.

（1）求θ的矩估计量；

（2）判断4X²是否为θ²的无偏估计量.

精解 （1）令得，所以θ的矩估计量为(www.daowen.com)

（2）由于所以，4X²不是θ²的无偏估计量.

例16.4 设总体X的概率密度为

其中θ＞0是未知参数.设X₁，X₂，…，X_n是来自X的一个简单随机样本，求θ的最大似然估计量，并求

精解 记样本的观察值为x₁，x₂，…，x_n，作似然函数

显然L（θ）的最大值只能在x₁，x₂，…，x_n≥θ处取到，所以可化简L（θ）为

显然它是θ的单调增加函数，在θ=min{x₁，x₂，…，x_n}处取最大值.从而θ的最大似然估计量为

由于X的分布函数为

所以X（1）的分布函数

因此，X（1）的概率密度为

从而

例16.5 设总体X的分布函数为其中参数α＞0，

β＞1均未知.设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，X是该样本的均值.

（1）当α=1时，求β²的矩估计量；

（2）当β=2时，求α的最大似然估计量，并判别它的无偏性.

精解 X的概率密度为

（1）当α=1时，所以

令，即解此方程得从而β²的矩估计量为

（2）当β=2时，记样本的观察值为x₁，x₂，…，x_n，则似然函数

显然L（α）的最大值只能在x₁，x₂，…，x_n≥α上取到，所以可化简似然函数为

L（α）=2ⁿα²ⁿ（x₁x₂…x_n）-3，x₁，x₂，…，x_n≥α.

容易知道L（α）是单调增加函数，所以当α=min{x₁，x₂，…，x_n}时L（α）取最大值.

因此，α的最大似然估计量α^=min{X₁，X₂，…，X_n}.

下面考虑的无偏性.

所以的分布函数为

从而的概率密度为

由于，所以不是α的无偏估计量.