理论教育 二维连续型随机变量概率密度计算方法

二维连续型随机变量概率密度计算方法

时间:2023-10-27 理论教育 版权反馈
【摘要】:设(X,Y)是二维连续型随机变量,f(x,y)与F(x,y)是它的概率密度与分布函数,则(X,Y)的边缘概率密度:(X,Y)的条件概率密度:对fY(y)≠0的任意y有,对fX(x)≠0的任意x有例14.1 设随机变量X的概率密度为求Y=X2的概率密度.精解 先计算Y的分布函数FY(y),然后求导算出Y的概率密度fY(y).按分布函数的定义FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y).当y<0时,P(X

二维连续型随机变量概率密度计算方法

设(XY)是二维连续型随机变量fxy)与Fxy)是它的概率密度与分布函数,则

XY)的边缘概率密度:

XY)的条件概率密度:

fYy)≠0的任意y978-7-111-49525-3-Part03-526.jpg

fXx)≠0的任意x978-7-111-49525-3-Part03-527.jpg

例14.1 设随机变量X的概率密度为

Y=X2的概率密度.

精解 先计算Y的分布函数FYy),然后求导算出Y的概率密度fYy).

按分布函数的定义FYy)=PYy)=PX2y).

y<0时,PX2y)=P(∅)=0;当y≥0时,978-7-111-49525-3-Part03-529.jpg于是

当0≤y<1时,978-7-111-49525-3-Part03-530.jpg

当1≤y<4时,978-7-111-49525-3-Part03-531.jpg

y≥4时,978-7-111-49525-3-Part03-532.jpg

因此,978-7-111-49525-3-Part03-533.jpg

从而978-7-111-49525-3-Part03-534.jpg

例14.2 设二维随机变量(XY)的概率密度为

求:(1)(XY)的边缘概率密度fXx),fYy);

(2)随机变量Z=2X-Y的概率密度fZz).

精解 (1)记D={(xy)0<x<1,0<y<2x}(如图C-14-1阴影部分所示),则fxy)仅在D上取值为1,在xOy平面的其他部分取值为0.于是(www.daowen.com)

图C-14-1

(2)Z=2X-Y的概率密度

其中978-7-111-49525-3-Part03-540.jpg

所以,978-7-111-49525-3-Part03-541.jpg

例14.3 设在随机变量Y=y∈(0,1)的条件下,随机变量X的条件概率密度为

Y的概率密度为978-7-111-49525-3-Part03-543.jpg

X的概率密度fXx).

精解 先算出(XY)的概率密度fxy),然后再计算fXx).

所以,978-7-111-49525-3-Part03-545.jpg

例14.4 设二维随机变量(XY)的概率密度为

求随机变量U=max{XY}的概率密度fu).

精解 记U的分布函数为Fu),则

其中Du={(xyxuyu}.此外,记D={(xy)0<x<y}.于是

u≤0时,978-7-111-49525-3-Part03-548.jpg

u>0时,978-7-111-49525-3-Part03-549.jpg

所以,978-7-111-49525-3-Part03-550.jpg

因此,978-7-111-49525-3-Part03-551.jpg

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