理论教育 热点问题讲解:考研数学随机事件概率计算

热点问题讲解:考研数学随机事件概率计算

时间:2023-10-27 理论教育 版权反馈
【摘要】:随机事件的概率通常应用以下公式计算:逆事件概率公式加法公式P(A∪B)=P+P-P,特别当A,B互不相容时,P(A∪B)=P+P.P=P+P+P-P-P-P+P,特别当A,B,C两两互不相容时,P=P+P+P.减法公式P(A-B)=P-P,特别当BA时,P(A-B)=P-P.乘法公式全概率公式设A1,A2,…,An是与事件B有关的完全事件组,且P>0(i=1,2,…

热点问题讲解:考研数学随机事件概率计算

随机事件的概率通常应用以下公式计算:

(1)逆事件概率公式(逆概公式)978-7-111-49525-3-Part03-481.jpg

(2)加法公式

PAB)=PA)+PB)-PAB),特别当AB互不相容时,PAB)=PA)+PB).

PABC)=PA)+PB)+PC)-PAB)-PAC)-PBC)+PABC),特别当ABC两两互不相容时,PABC)=PA)+PB)+PC).

(3)减法公式

PA-B)=PA)-PAB),特别当BA时,PA-B)=PA)-PB).

(4)乘法公式

(5)全概率公式

A1A2,…,An是与事件B有关的完全事件组,且PAi)>0(i=1,2,…,n),则

但是在考题中出现的往往是计算由随机变量表示的随机事件的概率,此时不仅需应用以上的公式,更需要利用随机变量的分布函数、概率分布(或概率密度).

例13.1 有10个相同的罐子,其中有3个罐子都装有1个黑球1个红球,有6个罐子都装有2个黑球2个红球,有1个罐子装有9个红球1个黑球(球除颜色外,其余相同).现任取一个罐子,再从这个罐子中任取一球,结果发现取出的是红球,求这个红球是从装有10个球的罐子中取出的概率.

精解 记 A={任取一球是红球},

B1={任取的罐子是装有2个球的},

B2={任取的罐子是装有4个球的},

B3={任取的罐子是装有10个球的},则要求的概率为

其中,B1B2B3是与A有关的完全事件组,且978-7-111-49525-3-Part03-485.jpg978-7-111-49525-3-Part03-486.jpg978-7-111-49525-3-Part03-487.jpg,所以由全概率公式得

因此,所求的概率为978-7-111-49525-3-Part03-489.jpg

例13.2 设AB为随机事件,且978-7-111-49525-3-Part03-490.jpg978-7-111-49525-3-Part03-491.jpg978-7-111-49525-3-Part03-492.jpg

二维随机变量(XY)的概率分布.

精解 本题实际上是计算随机事件概率的问题.

XY都只能取0和1两个值,且

其中,由PAB)=PBPAB)得978-7-111-49525-3-Part03-495.jpg,即978-7-111-49525-3-Part03-496.jpg将它代入式(1)得

因此,(XY)的概率分布为(www.daowen.com)

例13.3 设随机变量XU[-1,3],求随机变量Y=X2的分布函数FYy).

精解 X的概率密度为978-7-111-49525-3-Part03-499.jpg,按定义计算FYy),所以本题实际上是计算随机事件概率的问题.FYy)=PYy)=PX2y).下面计算概率PX2y).

y<0时,PX2y)=P(∅)=0.

y≥0时,978-7-111-49525-3-Part03-500.jpg,于是

当0≤y<1时,978-7-111-49525-3-Part03-501.jpg

当1≤y<9时,978-7-111-49525-3-Part03-502.jpg

y≥9时,978-7-111-49525-3-Part03-503.jpg.

因此978-7-111-49525-3-Part03-504.jpg

例13.4 计算下列各题:

(1)设随机变量XY相互独立,X的概率分布为978-7-111-49525-3-Part03-505.jpgY的概率密度为978-7-111-49525-3-Part03-506.jpgZ=X+Y,求概率P978-7-111-49525-3-Part03-507.jpg

(2)设二维随机变量(XY)的概率密度为

求概率978-7-111-49525-3-Part03-509.jpg

精解 (1)978-7-111-49525-3-Part03-510.jpg

图C-13-1

(2)记D={(xy)0≤x≤1,0≤y≤1},D1=978-7-111-49525-3-Part03-512.jpg,则DD1如图C-13-1的阴影部分所示.

所以

例13.5 设二维随机变量(XY)在区域G上服从均匀分布,其中G是由x轴,y轴以及直线y=2x+1围成的三角形.求条件概率978-7-111-49525-3-Part03-515.jpg

精解 先算出(XY)的条件概率密度978-7-111-49525-3-Part03-516.jpg.为此画出G的图形如图C-13-2阴影部分所示.由于(XY)的概率密度

特别地,978-7-111-49525-3-Part03-518.jpg

图 C-13-2

此外,978-7-111-49525-3-Part03-520.jpg

所以978-7-111-49525-3-Part03-521.jpg978-7-111-49525-3-Part03-522.jpg

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