理论教育 真题精讲与热点分析二次型规范形化解

真题精讲与热点分析二次型规范形化解

时间:2023-10-27 理论教育 版权反馈
【摘要】:将二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx化为规范形的步骤如下:将二次型f化为标准形,设为f=c1y21+c2y22+…+cny2n.当c1>0时,令;当c1<0时,令;当c1=0时,令z1=y1.对其余变量也同样考虑.如此即得f的规范形z21+z22+…+0·z2n.其中p称为f的正惯性指数,q称为f的负惯性指数,显然p+q=r.惯性定理 任意二次型f(x1,x2,…

真题精讲与热点分析二次型规范形化解

将二次型fx1x2,…,xn)=xTAx化为规范形的步骤如下:

(1)将二次型f化为标准形,设为f=c1y21+c2y22+…+cny2n.

(2)当c1>0时,令978-7-111-49525-3-Part03-452.jpg;当c1<0时,令978-7-111-49525-3-Part03-453.jpg;当c1=0时,令z1=y1.

对其余变量也同样考虑.如此即得f的规范形

z21+z22+…+zp2-zp2+1-zp2+2-…-zp2+q+0·zp2+q+1+…+0·z2n.

其中p称为f的正惯性指数,q称为f的负惯性指数,显然p+q=rA).

惯性定理 任意二次型fx1x2,…,xn)=xTAx总可以经过适当的可逆线性变换化成规范形,其规范形是唯一的,与所选的可逆线性变换无关,即正平方项个数p,负平方项个数qf唯一确定.

例12.1 已知二次型fx1x2x3)=xTAxx=(x1x2x3TA是三阶实对称矩阵),在正交变换x=Qyy=(y1y2y3TQ是正交矩阵)下的标准形为y21+y22,且Q的第3列为978-7-111-49525-3-Part03-454.jpg,求fx1x2x3).

精解 实际上只要算出A即可.

由题设知A有特征值为λ=1(二重)和λ=0,且对应λ=0的特征向量ξ3=978-7-111-49525-3-Part03-455.jpg,于是由A是实对称矩阵知,对应λ=1的特征向量α=(abc)T应满足ξ3·α=0,即978-7-111-49525-3-Part03-456.jpg从而可取α=ξ1=(0,1,0)Tα=ξ2=(-1,0,1)T.

显然ξ1ξ2ξ3两两正交,现将它们单位化:

于是978-7-111-49525-3-Part03-458.jpg,并且978-7-111-49525-3-Part03-459.jpg,从而978-7-111-49525-3-Part03-460.jpg所以所求的978-7-111-49525-3-Part03-461.jpg

例12.2 设二次型fx1x2x3)=ax21+ax22+(a-1)x23+2x1x3-2x2x3.

(1)求f的矩阵的所有特征值;

(2)若f的规范形为y21+y22,求a的值.

精解 (1)由于f的矩阵为

A的特征值为a-2,aa+1(由小到大排列).

(2)由f的规范形是y21+y22,所以A有两个正特征值和一个零特征值,从而a-2=0,即a=2.

例12.3 已知二次型fx1x2x3)=(1-ax21+(1-ax22+2x23+2(1+ax1x2的秩为2.

(1)求a的值;

(2)求正交变换x=Qy,把fx1x2x3)化为标准形;

(3)求方程fx1x2x3)=0的解.

精解 (1)f的秩即为它的矩阵978-7-111-49525-3-Part03-463.jpg的秩,所以由题设知rA)=2.从而978-7-111-49525-3-Part03-464.jpg,由此得到a=0.

(2)将a=0代入A

记3阶单位矩阵E,则由

A的特征值为λ=0,2(二重).

记对应λ=0的特征向量为ξ1=(a1a2a3T,则它满足978-7-111-49525-3-Part03-467.jpg,即978-7-111-49525-3-Part03-468.jpg

所以可取ξ1=(1,-1,0)T.

设对应λ=2的特征向量为ξ2=(b1b2b3T,则由A是实对称矩阵知(www.daowen.com)

ξ1·ξ2=0,即b1-b2=0,

所以可以取ξ2=α2=(1,1,0)Tξ2=α3=(0,0,1)T.

显然,ξ1α2α3两两正交,现将它们单位化:

978-7-111-49525-3-Part03-470.jpg,则x=Qy(其中y=(y1y2y3T)将fx1x2x3)化为标准形,即f=2y22+2y23.

(3)由(2)知fx1x2x3)=0即为2y22+2y23=0.由此得到

y1=k(任意常数),y2=y3=0.

因此由978-7-111-49525-3-Part03-471.jpgfx1x2x3)=0的解为x1=cx2=-c978-7-111-49525-3-Part03-472.jpg

例12.4 设二次型fx1x2x3)=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3.

(1)经正交变换x=Qy(其中x=(x1x2x3T,y=(y1y2y3TQ是正交矩阵)化成标准形f=y22+2y23,求常数αβ

(2)经可逆线性变换x=Py(其中P是可逆矩阵)化为标准形f=y22+2y23,求常数αβ.

精解 记f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3的矩阵为A,则

(1)经正交变换x=Qy后f=y22+2y23知A有特征值λ=0,1,2.于是有

其中E是3阶单位矩阵.

由式(1)得(α-β)2=0,即α=β.

由式(2)978-7-111-49525-3-Part03-475.jpg

因此所求的αβ均为零.

(2)经过可逆线性变换x=Pyf=y22+2y23A的秩为2(此时,A未必有特征值λ=0,1,2).于是对A施行初等行变换

β-α=0且1-α2≠0,即α=β,但它们都不能为-1及1.

例12.5 设二次型fx1x2x3)=ax21+2x22-2x23+2bx1x2b>0)经正交变换x=Qy(其中x=(x1x2x3Ty=(y1y2y3TQ是3阶正交矩阵)后化为标准形f=λ1y21+λ2y22+λ3y23,其中λ1+λ2+λ3=1,λ1λ2λ3=4.

(1)求常数ab的值;

(2)用可逆线性变换将fx1x2x3)化为规范形,并求出这个可逆线性变换.

精解 (1)f的矩阵978-7-111-49525-3-Part03-477.jpgλ1,λ2,λ3是它的特征值,于是由题设知

(2)将a=1,b=2代入fx1x2x3),并对它配方得

fx1x2x3)=x21+2x22-2x23+4x1x2

=(x21+4x1x2+4x22)-2x22-2x23

=(x1+2x2)2-2x22-2x23.

于是令978-7-111-49525-3-Part03-479.jpg,则fx1x2x3)=y21-y22-y23(规范形),并且所求的可逆线性变换为978-7-111-49525-3-Part03-480.jpg

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