设空间闭区域Ω由光滑或分块光滑的闭曲面Σ围成，函数P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）具有连续的偏导数，则

关于坐标的曲面积分，往往可用高斯公式作快捷计算.

注 （ⅰ）如果S不是闭曲面，则计算时，可以适当添上一块曲面S₀，使得S+S₀构成闭曲面（不妨设其为外侧），于是可如下那样应用高斯公式计算其中Ω₁是由S+S₀围成的空间闭区域.

（ⅱ）当，，在空间有界闭区域Ω内有不连续点（x₀，y₀，z₀）时，则计算（其中Σ是Ω的边界的外侧闭曲面）时，可以作一位于Ω内部的、包围点（x₀，y₀，z₀）的闭曲面Σ₀（方向为内侧），于是

其中，Ω₂是由Σ+Σ₀围成的空间闭区域.

例6.3 计算曲面积分，其中Σ是由曲线L：，绕z轴旋转一周而成的旋转曲面与平面z=-1，z=1围成的空间闭区域Ω的边界曲面外侧.

精解 旋转曲面方程为x²+y²-z²=1，所以

Ω={（x，y，z）（x，y）∈D_z，-1≤z≤1}，其中D_z是Ω的竖坐标为z的截面在xOy平面上的投影，即

D_z={（x，y）x²+y²≤z²+1}，于是

例6.4 求下列曲面积分：(www.daowen.com)

（1），其中Σ是曲面z=1-x²-y²（z≥0）的上侧；

（2），其中Σ是曲面2x²+2y²+z²=4的外侧.

精解 （1）记xOy平面的位于Σ之内的部分（方向为下侧）为Σ₀，则

其中

将式（2）、式（3）代入式（1）得

（2）由于 有不连续点（0，0，0）∈Ω（Ω是由Σ围成的空间），所以作Σ_ε：x²+y²+z²=ε²，其中，ε是充分小的正数，使得内侧曲面Σ_ε位于Ω内部.于是

其中，

将式（5）、式（6）代入式（4）得