设D是以光滑或分段光滑闭曲线C为边界的平面闭区域，函数P（x，y），Q（x，y）在D上有连续的偏导数，则

其中左边的曲线积分是沿C的正向.

关于坐标的平面曲线积分，往往可用格林公式作快捷计算.

注 （ⅰ）如果Г不是闭曲线，则计算时，可以适当添上一曲线γ，使得Γ+γ构成闭曲线（不妨设其为正向），则可如下那样应用格林公式计算，y）dx+Q（x，y）dy：

（ⅱ）当或在闭区域D的内部有不连续点（x₀，y₀）时，则计算（x，y）dx+Q（x，y）dy（C是D的正向边界）时，可以作一位于D内部的、包围点（x₀，y₀）的闭曲线C₀（方向为负向），于是

例6.1 求以下的曲线积分：

（1），其中L：y=1-x（x∈[-1，1]），起点A（-1，0），终点B（1，0）；(www.daowen.com)

（2），其中C：x+y=1（正向）.

精解 （1）其中，将它们代入式（1）得

图 C-6-1

（2）由于被积函数中的（x，y）∈C，即满足x+y=1，所以有

例6.2 计算曲线积分，其中C是以点（1，0）为中心、R（R＞1）为半径的正向圆周.精解 记由C围成的闭区域为D，则在D内有不连续点（0，0）.因此作负向闭曲线C_ε：4x²+y²=ε²（其中ε是充分小的正数，它使C_ε位于D的内部），于是

其中，将它们代入式（1）得 I=π.