设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分可按以下步骤计算:
(1)画出D的简图,根据D的对称性,化简:当D具有某种对称性时,如果f(x,y)在对称点处的值互为相反数,则0;如果f(x,y)在对称点处的值彼此相等,则(其中D1是D按对称性划分成的两部分之一).
记化简后的二重积分仍为
(2)根据D将二重积分转换成二次积分:
如果D={(x,y)y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b}(X-型),则
如果D={(x,y)x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d}(Y-型),则
如果D是以原点为顶点的角域{(r,θ)r1(θ)≤r≤r2(θ),0≤θ1≤θ≤θ2≤2π},用极坐标计算,此时
如果D不是上述三种形式的积分区域,则用若干条与y轴平行的直线(或与x轴平行的直线,或从原点出发的射线)将D划分成若干小块,使每一块为Y-型(或X-型,或角域),然后把每一小块上的二重积分化为二次积分.
(3)计算二次积分例如,对于,先将x看做[a,b]上的某个固定点计算定积分,然后再计算定积分
例5.1 计算下列二重积分:
(1),其中D={(x,y)0≤x≤2,0≤y≤2};
(2)σ,其中D={(x,y)x+y≤2,x≥0,y≥0}及
精解 (1)曲线xy=1将D分成D1与D2两部分(如图C-5-1所示),并且,在D上
所以
图 C-5-1
(2)用直线x+y=1将D划分成D1与D2两部分(如图C-5-2所示),则
图 C-5-2
例5.2 计算下列二重积分:
(1)σ,其中D={(x,y)x2+y2≤1,x≥0};
(2),其中D={(x,y)x2+y2≤2,x>0,y>0},[u]表示不超过u的最大整数;
(3),其中D={(r,θ)0≤r≤secθ,
精解 (1),其中,
因此
(2)用圆x2+y2=1将D划分成D1={(x,y)x2+y2<1,x>0,y>0}与D2={(x,y)1≤x2+y2≤2,x>0,y>0},则在D上,所以
其中
图 C-5-3
={(x,y)0≤y≤x,0≤x≤1}(如图C-5-3阴影部分所示),所以
例5.3 计算下列二重积分:
(1)σ,其中D={(x,y)(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x};
(2),其中D={(x,y)0≤x≤2,-1≤y≤1}.
精解 (1)D如图C-5-4阴影部分所示,它是角域的一部分,所以用极坐标计算所给的二重积分:(www.daowen.com)
图 C-5-4
(2)由于D关于x轴对称,在对称点处的值彼此相等,所以,其中D1={(x,y)0≤x≤2,0≤y≤1}是D的上半平面部分,如图C-5-5所示.用直线y=x将D1划分成D2与D3两部分(其中D2,D3分别位于直线上方与下方),则
图 C-5-5
5.2 三重积分的计算
设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的连续函数,则三重积分可按以下步骤计算:
(1)根据Ω的对称性,化简
当Ω具有某种对称性时,如果f(x,y,z)在对称点处的值互为相反数,则0;如果f(x,y,z)在对称点处的值彼此相等,则(其中Ω1是Ω按对称性划分成的两部分之一).化简后的三重积分仍记为
(2)根据Ω将三重积分转换成一个定积分与一个二重积分.
这里有“先一后二”和“先二后一”两种转换方法.
例如,Ω={(x,y,z)z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈Dxy}(其中Dxy是Ω在xOy平面的投影),则
又例如,Ω={(x,y,z)(x,y)∈Dz,c≤z≤d}(其中Dz是Ω的竖坐标为z的截面在xOy平面的投影),则
此外,当Ω是角域的一部分{(r,θ,φ)r1(θ,φ)≤r≤r2(θ,φ),φ1(θ)≤φ≤φ2(θ),θ1≤θ≤θ2}时,用球面坐标计算,此时
(3)计算以上各式右边的积分.例如,对于,先将(x,y)看做Dxy上的某个固定点,计算定积分,然后计算二重积分
例5.4 计算三重积分,其中Ω是由曲面z=xy及平面y=x,x=1和y=0,z=0围成的立体.
精解 Ω是曲顶柱体,其曲顶为z=xy,底面Dxy是xOy平面上由直线y=x,y=0,x=1围成的三角形,母线与z轴平行,所以
例5.5 计算下列三重积分:
(1),其中Ω={(x,y,z)x2+y2+z2≤1};
(2),其中Ω是球x2+y2+z2≤4与x2+y2+z2≤4z的公共部分.
精解 (1)用球面坐标计算
由于Ω关于yOz平面对称,xy在对称点处的值互为相反数,所以
下面计算由于球面x2+y2+z2=4与x2+y2+z2=4z的交线为{,即,它位于平面z=1上,故用平面z=1将Ω划分成Ω1与Ω2两部分,其中Ω1与Ω2分别位于平面z=1的上方与下方,且
Ω1={(x,y,z)x2+y2≤4-z2,1≤z≤2},
Ω2={(x,y,z)x2+y2≤4z-z2,0≤z≤1}.于是
将式(2)、式(3)代入式(1)得
例5.6 设Ω={(x,y,z)x2+y2+z2≤1},求三重积分
精解其中
下面计算由于π:x+y+z=0是通过原点的平面,所以Ω关于π对称.设Ω上的点M0(x0,y0,z0)与M1(x1,y1,z1)互为对称点,则的中点
位于π上,所以有,即x0+y0+z0=-(x1+y1+z1).
由此可知tan(x+y+z)在对称点处的值互为相反数,因此
将式(2)、式(3)代入式(1)得
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