理论教育 2016考研数真题精讲:二重积分计算方法

2016考研数真题精讲:二重积分计算方法

时间:2023-10-27 理论教育 版权反馈
【摘要】:设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分可按以下步骤计算:(1)画出D的简图,根据D的对称性,化简:当D具有某种对称性时,如果f(x,y)在对称点处的值互为相反数,则0;如果f(x,y)在对称点处的值彼此相等,则(其中D1是D按对称性划分成的两部分之一).记化简后的二重积分仍为(2)根据D将二重积分转换成二次积分:如果D={(x,y)y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b}(X-型),

2016考研数真题精讲:二重积分计算方法

fxy)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分978-7-111-49525-3-Part03-207.jpg可按以下步骤计算:

(1)画出D的简图,根据D的对称性,化简978-7-111-49525-3-Part03-208.jpg:当D具有某种对称性时,如果fxy)在对称点处的值互为相反数,则978-7-111-49525-3-Part03-209.jpg0;如果fxy)在对称点处的值彼此相等,则978-7-111-49525-3-Part03-210.jpg(其中D1D按对称性划分成的两部分之一).

记化简后的二重积分仍为978-7-111-49525-3-Part03-211.jpg

(2)根据D将二重积分转换成二次积分:

如果D={(xyy1x)≤yy2x),axb}(X-型),则

如果D={(xyx1y)≤xx2y),cyd}(Y-型),则

如果D是以原点为顶点的角域{(rθr1θ)≤rr2θ),0≤θ1θθ2≤2π},用极坐标计算,此时

如果D不是上述三种形式的积分区域,则用若干条与y轴平行的直线(或与x轴平行的直线,或从原点出发的射线)将D划分成若干小块,使每一块为Y-型(或X-型,或角域),然后把每一小块上的二重积分化为二次积分.

(3)计算二次积分例如,对于978-7-111-49525-3-Part03-215.jpg,先将x看做[ab]上的某个固定点计算定积分978-7-111-49525-3-Part03-216.jpg,然后再计算定积分978-7-111-49525-3-Part03-217.jpg

例5.1 计算下列二重积分:

(1)978-7-111-49525-3-Part03-218.jpg,其中D={(xy)0≤x≤2,0≤y≤2};

(2)978-7-111-49525-3-Part03-219.jpgσ,其中D={(xyx+y≤2,x≥0,y≥0}及978-7-111-49525-3-Part03-220.jpg978-7-111-49525-3-Part03-221.jpg

精解 (1)曲线xy=1将D分成D1D2两部分(如图C-5-1所示),并且,在D

所以978-7-111-49525-3-Part03-223.jpg

图 C-5-1

(2)用直线x+y=1将D划分成D1D2两部分(如图C-5-2所示),则

图 C-5-2

例5.2 计算下列二重积分:

(1)978-7-111-49525-3-Part03-227.jpgσ,其中D={(xyx2+y2≤1,x≥0};

(2)978-7-111-49525-3-Part03-228.jpg,其中D={(xyx2+y2≤2,x>0,y>0},[u]表示不超过u的最大整数;

(3)978-7-111-49525-3-Part03-229.jpg,其中D={(rθ)0≤r≤secθ978-7-111-49525-3-Part03-230.jpg

精解 (1)978-7-111-49525-3-Part03-231.jpg,其中978-7-111-49525-3-Part03-232.jpg978-7-111-49525-3-Part03-233.jpg

因此978-7-111-49525-3-Part03-234.jpg

(2)用圆x2+y2=1将D划分成D1={(xyx2+y21,x>0,y>0}与D2={(xy)1≤x2+y2≤2,x>0,y>0},则在D上,978-7-111-49525-3-Part03-235.jpg所以

其中978-7-111-49525-3-Part03-238.jpg

图 C-5-3

={(xy)0≤yx,0≤x≤1}(如图C-5-3阴影部分所示),所以

例5.3 计算下列二重积分:

(1)978-7-111-49525-3-Part03-241.jpgσ,其中D={(xy)(x-1)2+(y-1)2≤2,yx};

(2)978-7-111-49525-3-Part03-242.jpg,其中D={(xy)0≤x≤2,-1≤y≤1}.

精解 (1)D如图C-5-4阴影部分所示,它是角域的一部分,所以用极坐标计算所给的二重积分:(www.daowen.com)

图 C-5-4

(2)由于D关于x轴对称978-7-111-49525-3-Part03-246.jpg在对称点处的值彼此相等,所以978-7-111-49525-3-Part03-247.jpg,其中D1={(xy)0≤x≤2,0≤y≤1}是D的上半平面部分,如图C-5-5所示.用直线y=xD1划分成D2D3两部分(其中D2D3分别位于直线上方与下方),则

图 C-5-5

5.2 三重积分的计算

fxyz)是空间有界闭区域Ω上的连续函数,则三重积分978-7-111-49525-3-Part03-250.jpg可按以下步骤计算:

(1)根据Ω的对称性,化简978-7-111-49525-3-Part03-251.jpg

Ω具有某种对称性时,如果fxyz)在对称点处的值互为相反数,则978-7-111-49525-3-Part03-252.jpg0;如果fxyz)在对称点处的值彼此相等,则978-7-111-49525-3-Part03-253.jpg(其中Ω1是Ω按对称性划分成的两部分之一).化简后的三重积分仍记为978-7-111-49525-3-Part03-254.jpg

(2)根据Ω将三重积分转换成一个定积分与一个二重积分.

这里有“先一后二”和“先二后一”两种转换方法.

例如,Ω={(xyzz1xy)≤zz2xy),(xy)∈Dxy}(其中DxyΩxOy平面的投影),则

又例如,Ω={(xyz)(xy)∈Dzczd}(其中DzΩ的竖坐标为z的截面在xOy平面的投影),则

此外,当Ω是角域的一部分{(rθφr1θφ)≤rr2θφ),φ1θ)≤φφ2θ),θ1θθ2}时,用球面坐标计算,此时

(3)计算以上各式右边的积分.例如,对于978-7-111-49525-3-Part03-258.jpg,先将(xy)看做Dxy上的某个固定点,计算定积分978-7-111-49525-3-Part03-259.jpg,然后计算二重积分978-7-111-49525-3-Part03-260.jpg

例5.4 计算三重积分978-7-111-49525-3-Part03-261.jpg,其中Ω是由曲面z=xy及平面y=xx=1和y=0,z=0围成的立体.

精解 Ω是曲顶柱体,其曲顶为z=xy,底面DxyxOy平面上由直线y=xy=0,x=1围成的三角形,母线与z轴平行,所以

例5.5 计算下列三重积分:

(1)978-7-111-49525-3-Part03-263.jpg,其中Ω={(xyzx2+y2+z2≤1};

(2)978-7-111-49525-3-Part03-264.jpg,其中Ω是球x2+y2+z2≤4与x2+y2+z2≤4z的公共部分.

精解 (1)用球面坐标计算

由于Ω关于yOz平面对称,xy在对称点处的值互为相反数,所以

下面计算978-7-111-49525-3-Part03-267.jpg由于球面x2+y2+z2=4与x2+y2+z2=4z的交线为978-7-111-49525-3-Part03-268.jpg{,即978-7-111-49525-3-Part03-269.jpg,它位于平面z=1上,故用平面z=1将Ω划分成Ω1Ω2两部分,其中Ω1Ω2分别位于平面z=1的上方与下方,且

Ω1={(xyzx2+y2≤4-z2,1≤z≤2},

Ω2={(xyzx2+y2≤4z-z2,0≤z≤1}.于是978-7-111-49525-3-Part03-270.jpg

将式(2)、式(3)代入式(1)得

例5.6 设Ω={(xyzx2+y2+z2≤1},求三重积分

精解978-7-111-49525-3-Part03-273.jpg其中978-7-111-49525-3-Part03-274.jpg

下面计算978-7-111-49525-3-Part03-275.jpg由于πx+y+z=0是通过原点的平面,所以Ω关于π对称.设Ω上的点M0x0y0z0)与M1x1y1z1)互为对称点,则978-7-111-49525-3-Part03-276.jpg中点

位于π上,所以有978-7-111-49525-3-Part03-278.jpg,即x0+y0+z0=-x1+y1+z1).

由此可知tan(x+y+z)在对称点处的值互为相反数,因此

将式(2)、式(3)代入式(1)得

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