一、选择题（第1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

（1）当x→0+时，与等价的无穷小量是

[ ]

（2）曲线的渐近线的条数为

（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.

[ ]

（3）如下图所示，连续函数y=f（x）在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周.设，则下列结论正确的是

[ ]

（4）设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是

（A）若存在，则f（0）=0.

（B）若存在，则f（0）=0.

（C）若存在，则f′（0）存在.

（D）若存在，则f′（0）存在.

[ ]

（5）设函数f（x）在（0，+∞）内具有二阶导数，且f″（x）＞0，令u_n=f（n）（n=1，2，…），则下列结论正确的是

（A）若u₁＞u₂，则{u_n}必收敛.（B）若u₁＞u₂，则{u_n}必发散.

（C）若u₁＜u₂，则{u_n}必收敛.（D）若u₁＜u₂，则{u_n}必发散.

[ ]

（6）设曲线L：f（x，y）=1（f（x，y）具有一阶连续偏导数）过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是

[ ]

（7）设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组线性相关的是

（A）α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α₁.（B）α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁.

（C）α₁-2α₂，α₂-2α₃，α₃-2α₁.（D）α₁+2α₂，α₂+2α₃，α₃+2α₁.

[ ]

（8）设矩阵，，则A与B

（A）合同，且相似. （B）合同，但不相似.

（C）不合同，但相似. （D）既不合同，也不相似.

[ ]

（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p（0＜p＜1），则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

（A）3p（1-p）2. （B）6p（1-p）2. （C）3p²（1-p）2. （D）6p²（1-p）2.

[ ]

（10）设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，f_X（x），f_Y（y）分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度f_XY（xy）为

（A）f_X（x）. （B）f_Y（y）. （C）f_X（x）f_Y（y）. （D）.

[ ]

二、填空题（第11～16小题，每小题4分，共24分.）(www.daowen.com)

（12）设f（u，v）为二元可微函数，z=f（x^y，y^x），则

（13）二阶常系数非齐次线性微分方程y″-4y′+3y=2e^2x的通解为y=____.

（14）设曲线Σ：x+y+z=1，则

（15）设矩阵，则A³的秩为____.

（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为____.

三、解答题（第17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（17）（本题满分11分）

求函数f（x，y）=x²+2y²-x²y²在区域D={（x，y）x²+y²≤4，y≥0}上的最大值和最小值.

（18）（本题满分10分）

计算曲面积分

其中Σ为曲面的上侧.

（19）（本题满分11分）

设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）.

（20）（本题满分10分）

设幂级数在（-∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y″-2xy′-4y=0，y（0）=0，y′（0）=1.

（Ⅰ）证明，n=1，2，…；

（Ⅱ）求y（x）的表达式.

（21）（本题满分11分）

设线性方程组

与方程

x₁+2x₂+x₃=a-1 ②有公共解，求a的值及所有公共解.

（22）（本题满分11分）

设3阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-2，且α₁=（1，-1，1）T是A的属于λ₁的一个特征向量.记B=A⁵-4A³+E，其中E为3阶单位矩阵.

（Ⅰ）验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

（Ⅱ）求矩阵B.

（23）（本题满分11分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（Ⅰ）求P（X＞2Y）；

（Ⅱ）求Z=X+Y的概率密度f_Z（z）.

（24）（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

其中参数θ（0＜θ＜1）未知，X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.

（Ⅰ）求参数θ的矩估计量；

（Ⅱ）判断是否为θ²的无偏估计量，并说明理由.