一、选择题（第1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）

（1）设函数，则f′（x）的零点个数为（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.

[ ]

（2）函数在点（0，1）处的梯度等于

（A）i.（B）-i.（C）j.（D）-j.

[ ]

（3）在下列微分方程中，以y=C₁e^x+C₂cos 2x+C₃sin 2x（C₁，C₂，C₃为任意常数）为通解的是

（A）y‴+y″-4y′-4y=0. （B）y‴+y″+4y′+4y=0.

（C）y‴-y″-4y′+4y=0. （D）y‴-y″+4y′-4y=0.

[ ]

（4）设函数f（x）在（-∞，+∞）内单调有界，{x_n}为数列，下列命题正确的是

（A）若{x_n}收敛，则{f（x_n）}收敛. （B）若{x_n}单调，则{f（x_n）}收敛.

（C）若{f（x_n）}收敛，则{x_n}收敛. （D）若{f（x_n）}单调，则{x_n}收敛.

[ ]

（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A³=O，则

（A）E-A不可逆，E+A不可逆. （B）E-A不可逆，E+A可逆.

（C）E-A可逆，E+A可逆. （D）E-A可逆，E+A不可逆.

[ ]

（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则A的正特征值的个数为

（A）0. （B）1.

（C）2. （D）3.

[ ]

（7）设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z=max{X，Y}的分布函数为

（A）F²（x）. （B）F（x）F（y）.

（C）1-[1-F（x）]². （D）[1-F（x）][1-F（y）].

[ ]

（8）设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρ_XY=1，则

（A）P（Y=-2X-1）=1. （B）P（Y=2X-1）=1.

（C）P（Y=-2X+1）=1. （D）P（Y=2X+1）=1.

[ ]

二、填空题（第9～14小题，每小题4分，共24分.）

（9）微分方程xy′+y=0满足条件y（1）=1的解是y=____.

（10）曲线sin（xy）+ln（y-x）=x在点（0，1）处的切线方程是____.(www.daowen.com)

（11）已知幂级数在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数的收敛域为____.

（12）设曲面Σ是的上侧，则.

（13）设A为2阶矩阵，α₁，α₂为线性无关的2维列向量，Aα₁=0，Aα₂=2α₁+α₂，则A的非零特征值为.

（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P（X=E（X²））=____.

三、解答题（第15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分9分）求极限

（16）（本题满分9分）

计算曲线积分，其中L是曲线y=sinx上从点（0，0）到点（π，0）的一段.

（17）（本题满分11分）

已知曲线C：求C上距离xOy面最远的点和最近的点.

（18）（本题满分10分）

设f（x）是连续函数，

（Ⅰ）利用定义证明函数可导，且F′（x）=f（x）；

（Ⅱ）当f（x）是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数.

（19）（本题满分11分）

将函数f（x）=1-x²（0≤x≤π）展开成余弦级数，并求级数的和.

（20）（本题满分10分）

设α，β为3维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置.证明：

（Ⅰ）秩r（A）≤2；

（Ⅱ）若α，β线性相关，则秩r（A）＜2.

（21）（本题满分12分）

设n元线性方程组Ax=b，其中

（Ⅰ）证明行列式A=（n+1）aⁿ；

（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x₁；

（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.

（22）（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为，Y的概率密度为记Z=X+Y.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求Z的概率密度f_Z（z）.

（23）（本题满分11分）

设X₁，X₂，…，X_n是总体N（μ，σ²）的简单随机样本.记

（Ⅰ）证明T是_μ²的无偏估计量；

（Ⅱ）当μ=0，σ=1时，求DT.