一、选择题（第1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合试题要求.）

（1）极限

（A）1. （B）e. （C）e^a-b. （D）e^b-a.

[ ]

（2）设函数z=z（x，y）由方程确定，其中F为可微函数，且F₂′≠0，

则

（A）x. （B）z. （C）-x. （D）-z.

[ ]

（3）设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性

（A）仅与m的取值有关. （B）仅与n的取值有关.

（C）与m，n的取值都有关. （D）与m，n的取值都无关.

[ ]

[ ]

（5）设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵.若AB=E，则

（A）秩r（A）=m，秩r（B）=m. （B）秩r（A）=m，秩r（B）=n.

（C）秩r（A）=n，秩r（B）=m. （D）秩r（A）=n，秩r（B）=n.

[ ]

（6）设A为4阶实对称矩阵，且A²+A=O.若A的秩为3，则A相似于

（7）设随机变量X的分布函数，则P（X=1）=

（A）0. （B）（C）（D）1-e^-1.

[ ]

（8）设f₁（x）为标准正态分布的概率密度，f₂（x）为[-1，3]上均匀分布的概率密度，若

为概率密度，则a，b应满足

（A）2a+3b=4. （B）3a+2b=4.

（C）a+b=1. （D）a+b=2.

[ ]

二、填空题（第9～14小题，每小题4分，共24分.）

（9）设{，则

（11）已知曲线L的方程为y=1-x（x∈[-1，1]），起点为（-1，0），终点为（1，0），则曲线积分

（12）设Ω={（x，y，z）x²+y²≤z≤1}，则Ω的形心的纵坐标(www.daowen.com)

（13）设α₁=（1，2，-1，0）^T，α₂=（1，1，0，2）^T，α₃=（2，1，1，a）^T.若由α₁，α₂，α₃生成的向量空间的维数为2，则a=____.

（14）设随机变量X的概率分布为，k=0，1，2，…，则E（X²）=____.

三、解答题（第15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分10分）

求微分方程y″-3y′+2y=2xe^x的通解.

（16）（本题满分10分）

求函数的单调区间与极值.

（17）（本题满分10分）

（Ⅰ）比较与的大小，说明理由；

（Ⅱ）记，求极限

（18）（本题满分10分）

求幂级数的收敛域及和函数.

（19）（本题满分10分）

设P为椭球面S：x²+y²+z²-yz=1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分，其中Σ是椭球面S位于曲线C上方的部分.

（20）（本题满分11分）

设，已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解.

（Ⅰ）求λ，a；

（Ⅱ）求方程组Ax=b的通解.

（21）（本题满分11分）

已知二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y²₁+y²₂，且Q的第3列为

（Ⅰ）求矩阵A；

（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=Ae^-2x2+2xy-y2，-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，求常数A及条件概率密度f_YX（yx）.

（23）（本题满分11分）

设总体X的概率分布为

其中参数θ∈（0，1）未知.以N_i表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i=1，2，3）.试求常数a₁，a₂，a₃，使为θ的无偏估计量，并求T的方差.