一、选择题(第1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.)
(1)曲线的渐近线条数为
(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.
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(2)设函数y(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n),其中n是正整数,则y′(0)=
(A)(-1)n-1(n-1)!. (B)(-1)n(n-1)!.
(C)(-1)n-1n!. (D)(-1)nn!.
[ ]
(3)如果函数f(x,y)在点(0,0)处连续,那么下列命题正确的是
(A)若极限存在,则f(x,y)在点(0,0)处可微.
(B)若极限存在,则f(x,y)在点(0,0)处可微.
(C)若f(x,y)在点(0,0)处可微,则极限存在.
(D)若f(x,y)在点(0,0)处可微,则极限存在.
(4)设,则有
[ ]
(A)I1<I2<I3. (B)I3<I2<I1. (C)I2<I3<I1. (D)I2<I1<I3.
[ ]
(5)设,,,,其中c1,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量组线性相关的为
(A)α1,α2,α3. (B)α1,α2,α4. (C)α1,α3,α4. (D)α2,α3,α4.
[ ]
(6)设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且.若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),则Q-1AQ=
[ ]
(7)设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则P(X<Y)=
[ ]
(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为
(A)1. (B).(C)(D)-1.
[ ]
二、填空题(第9~14小题,每小题4分,共24分.)
(9)若函数f(x)满足方程f″(x)+f′(x)-2f(x)=0及f″(x)+f(x)=2ex,则f(x)=
.
(12)设Σ={(x,y,z)x+y+z=1,x≥0,y≥0,z≥0},则____.(www.daowen.com)
(13)设x为三维单位列向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵E-xxT的秩为____.(14)设A,B,C是随机事件,A与C互不相容,,,则P(ABC)=____.
三、解答题(第15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
证明
(16)(本题满分10分)
求函数f的极值.
(17)(本题满分10分)
求幂级数的收敛域及和函数.
(18)(本题满分10分)
已知曲线L:,其中函数f(t)具有连续导数,且f(0)=0,若曲线L的切线与x轴交点到切点的距离恒为1,求函数f(t)的表达式,并求曲线L与x轴、y轴为边界的无界区域的面积.
(19)(本题满分10分)
已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2=2x到点(2,0),再沿圆周x2+y2=4到点(0,2)的曲线段,计算曲线积分
(20)(本题满分11分)
设,
(Ⅰ)计算行列式A;
(Ⅱ)当实数a为何值时,方程组Ax=β有无穷多解,并求其通解.
(21)(本题满分11分)
已知及二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,它将f化为标准形.
(22)(本题满分11分)
设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为
(Ⅰ)求P(X=2Y);
(Ⅱ)求Cov(X-Y,Y).
(23)(本题满分11分)
设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ,σ2)与N(μ,2σ2),其中σ是未知参数且σ>0.设Z=X-Y.
(Ⅰ)求Z的概率密度f(z,σ2);
(Ⅱ)设Z1,Z2,…,Zn为来自总体Z的简单随机样本,求σ2的最大似然估计量;
(Ⅲ)证明为σ2的无偏估计量.
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