一、选择题(第1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.)(1)已知极限,其中k,c为常数,且c≠0,则
[ ]
(2)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0,1,-1)处的切平面方程为
(A)x-y+z=-2. (B)x+y+z=0.
(C)x-2y+z=-3. (D)x-y-z=0.
[ ]
(3)设f,,令,
则
[ ]
(4)设L1:x2+y2=1,L2:x2+y2=2,L3:x2+2y2=2,L4:2x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线,记,则max{I1,I2,I3,I4}=
(A)I1. (B)I2. (C)I3. (D)I4.
[ ]
(5)设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.
(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.
(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.
[ ]
(6)矩阵与相似的充分必要条件为
(A)a=0,b=2. (B)a=0,b为任意常数.
(C)a=2,b=0. (D)a=2,b为任意常数.
[ ]
(7)设X1,X2,X3是随机变量,且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32),Pi=P(-2≤Xi≤2)(i=1,2,3),则
(A)P1>P2>P3. (B)P2>P1>P3.
(C)P3>P2>P1. (D)P1>P3>P2.
[ ]
(8)设随机变量X~t(n),Y~F(1,n),给定a(0<a<0.5),常数c满(X>c)=a,则P(Y>c2)=
(A)a. (B)1-a.
(C)2a. (D)1-2a.
[ ]
二、填空题(第9~14小题,每小题4分,共24分.)
(9)设函数y=f(x)由方程y-x=ex(l-y)确定,则
(10)已知y1=e3x-xe2x,y2=ex-xe2x,y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程的通解y=____.
(11)设(t为参数),则
(13)设A=(aij)是3阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=____.(www.daowen.com)
(14)设随机变量Y服从参数为1的指数分布,a为常数且大于零,则P(Y≤a+1Y>a)=____.
三、解答题(第15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
计算,其中
(16)(本题满分10分)
设数列{an}满足条件:a0=3,a1=1,an-2-n(n-1)an=0(n≥2).S(x)是幂级数的和函数.
(Ⅰ)证明:S″(x)-S(x)=0;
(Ⅱ)求S(x)的表达式.
(17)(本题满分10分)
求函数的极值.
(18)(本题满分10分)
设奇函数f(x)=[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1.
(Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f″(η)+f′(η)=1.
(19)(本题满分10分)
设直线L过A(1,0,0),B(0,1,1)两点,将L绕z轴旋转一周得到曲面Σ,Σ与平面z=0,z=2所围成的立体为Ω.
(Ⅰ)求曲面Σ的方程;
(Ⅱ)求Ω的形心坐标.
(20)(本题满分11分)
设,,当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C.
(21)(本题满分11分)
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,
记,
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT;
(Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y21+y22.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X的概率密度为令随机变量
(Ⅰ)求Y的分布函数;
(Ⅱ)求概率P(X≤Y).
(23)(本题满分11分)
设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本.
(Ⅰ)求θ的矩估计量;
(Ⅱ)求θ的最大似然估计量.
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