一、选择题(第1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.)
(1)设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,其2阶导函数f″(x)的图形如下图所示,则曲线y=f(x)的拐点个数为
(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.
(2)设
[ ]是2阶常系数非齐次线性微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解,则
(A)a=-3,b=2,c=-1. (B)a=3,b=2,c=-1.
(C)a=-3,b=2,c=1. (D)a=3,b=2,c=1.
[ ]
(3)若级数条件收敛,则与x=3依次为幂级数的
(A)收敛点,收敛点. (B)收敛点,发散点.
(C)发散点,收敛点. (D)发散点,发散点.
[ ]
(4)设D是第一象限中曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,围成的平面区域,函数f(x,y)在D上连续,则
[ ]
(5)设矩阵,,集合Ω={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷多个解的充分必要条件为
(A)a∉Ω,d∉Ω. (B)a∉Ω,d∈Ω.
(C)a∈Ω,d∉Ω. (D)a∈Ω,d∈Ω.
[ ]
(6)设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y21+y22-y23,其中x=(x1,x2,x3)T,y=(y1,y2,y3)T,P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,-e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
(A)2y21-y22+y23. (B)2y21+y22-y23.
(C)2y21-y22-y23. (D)2y21+y22+y23.
[ ]
(7)若A,B为任意两个随机事件,则
(A)P(AB)≤P(A)P(B). (B)P(AB)≥P(A)P(B).
[ ]
(8)设随机变量X,Y不相关,且EX=2,EY=1,DX=3,则E[X(X+Y-2)]=
(A)-3. (B)3. (C)-5. (D)5.
[ ]
二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.)
(11)若函数z=z(x,y)由方程ez+xyz+x+cosx=2确定,则dz(0,1)=____.
(12)设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域,则
(13)n(n≥3)阶行列式(www.daowen.com)
(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0),则P(XY-Y<0)=____.
三、解答题(15~23小题,共94分.解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3.若f(x)与g(x)在x→0是等价无穷小,求a,b,k值.
(16)(本题满分10分)
设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x0∈I,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成的区域D的面积为4,且f(0)=2,求f(x)的表达式.
(17)(本题满分10分)
已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.
(18)(本题满分10分)
(Ⅰ)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明
[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)′;
(Ⅱ)设函数u1(x),u2(x),…,un(x)可导,f(x)=u1(x)u2(x)…un(x),写出f(x)的求导公式.
(19)(本题满分10分)
已知曲线L的方程为,起点为A(0,,0),终点为,计算曲线积分
(20)(本题满分11分)
设向量组α1,α2,α3是3维向量空间RR3的一个基,β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β3=α1+(k+1)α3.
(Ⅰ)证明向量组β1,β2,β3是R3的一个基;
(Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求出所有的ξ.
(21)(本题满分11分)
设矩阵相似于矩阵
(Ⅰ)求a,b的值.
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X的概率密度为
对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y为观测次数.
(Ⅰ)求Y的概率分布;
(Ⅱ)求EY.
(23)(本题满分11分)
设总体X的概率密度为θ≤x≤1,其他,其中θ为未知参数,X1,X2,…,Xn为来自该总体的简单随机样本.
(Ⅰ)求θ的矩估计量.
(Ⅱ)求θ的最大似然估计量.
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