设有下列三对角方程

方程组中的ϕ₁和ϕ_n+1作为边界条件是已知的，方程组中任意一个方程的通用形式为

-β_jϕ_j-1+D_jϕ_j -α_jϕ_j+1=C_j

将方程组以上述通用形式写为

该方程组可通过向前消元和向后回代两个过程来求解，向前消元过程从消去ϕ₂开始，将式（4.10.1）代入式（4.10.2），得

令，，则有

再令，，则有

ϕ₃=A₃ϕ₄+C₃′ （4.10.5）

利用式（4.10.5）可从式（4.10.2）中消去ϕ₃，同时这一过程可一直做下去直至最后一个方程中的ϕ_n-1被消去。

回代过程用式（4.10.5）的通用形式，即

ϕ_j=A_jϕ_j+1+C_j′ （4.10.6）

式中，；。

利用边界条件，当j=1和j=n+1时的已知值，求A₁和C′₁以及A_n+1和C_n′₊₁，即

A₁=0，C′₁=ϕ₁，A_n+1=0，C_n′₊₁=ϕ_n+1

消元到最后一个方程时，有ϕ_n=A_nϕ_n+1+C_n′，而ϕ_n+1为已知边界条件。根据A_n和C_n′就可求出ϕ_n，有了ϕ_n可进一步求出ϕ_n-1，一直求到最前面的ϕ值，这一过程称为回代。

图4.10.1 算例4.10.1图

【例4.10.1】图4.10.1所示圆截面棒，截面积为S，长度L=1m，棒根温度T_B=100℃，环境温度T∞=20℃，棒端绝热，棒通过环境向外对流散热，对流换热系数为h，材料导热系数为λ，肋条周长为c，用数值方法计算棒沿长度方向的温度分布。已知该一维导热问题的控制方程为

式中，n²=hc/（λA）。已知hc/（λS）=25m^-2，λS=常数。

【解】首先将肋条全长划分成5个均匀控制容积，每个控制容积长δx=0.2m，网格如图4.10.2所示。

当λA为常数时，可将此问题控制微分方程改写为

图4.10.2 网格划分

对方程式（4.10.8）在控制容积中积分

式中，第一项为扩散流，第二项可看成源项，若假设被积函数在控制容积中温度保持不变，有

在结点2、结点3和结点4可写出离散方程为

整理，得

对内结点下述方程成立(www.daowen.com)

a_PT_P=a_WT_W+a_ET_E+Q₀ （4.10.13）

式中，；；a_P=a_W+a_E-Q_P；Q_P=-n²δx；Q₀=n²δxT∞。在结点1，控制容积西侧界面保持常温，因此

整理，可得结点1的离散方程系数为

在结点5，流过边界的热流量为零，采用类似的推导，可得结点5的离散方程为

整理可得结点5的离散方程系数为

将已知数据代入，得各结点方程系数，见表4.10.1。

表4.10.1 离散方程系数

写成矩阵形式的离散方程组为

下面用TDMA算法解该方程组。由通用方程表达式，即

-β_jT_j-1+D_jT_j -α_jT_j+1=C_j

在结点1和结点5，β₁=0，α₅=0，边界T是未知的，边界条件是由C_j引入的。为使计算结果清楚，将系数β，D，α，C和计算值A，C′列于表4.10.2中。A_j和C_j′的计算公式和计算过程列于表4.10.3中。

表4.10.2 方程组系数

表4.10.3 A_j和C_j′的计算公式和计算过程

（续）

由A_j和C_j′可写出消元后的结果，其通式为

T_j=A_jT_j+1+C_j′

于是

T₂=0.3636T₃+27.2727

T₃=0.3793T₄+17.9308

T₄=0.3816T₅+14.4735

T₅=21.30

回代过程为

21.30=T₅

0.3816×21.30+14.4735=22.60=T₄

0.3793×22.60+17.9308=26.50=T₃

0.3636×26.50+27.2727=36.91=T₂

0.25×36.91+55=64.22=T₁

经过一个消元过程和一个回代过程，得到最后结果，TDMA算法占用很少的计算机资源，具有很高的计算效率，但仅适宜计算三对角代数方程。有限体积法中一维问题的高阶差分格式和二维、三维问题得到的离散方程并非三对角方程，每一个代数方程有5个或7个非零系数，因此TDMA算法不能直接应用，但由于TDMA算法计算效率高，我们仍希望能将TDMA算法应用于求解高维有限体积法离散方程。