SIMPLE算法在偏微分方程数值解法中的应用

时间：2023-10-26 理论教育 版权反馈

【摘要】：为解决连续性方程离散时所遇到的困难可采用压力预测修正方法，即所谓的SIMPLE算法，它是通过不断修正计算结果，反复迭代，最后求出p，u，v的收敛解。图4.9.7 SIMPLE算法的计算流程由式可得将动量方程离散方程式改写为式应等于式，因此有整理，得同理，由于速度采用亚松弛迭代，压力修正方程式也要受到影响。

为解决连续性方程离散时所遇到的困难可采用压力预测修正方法，即所谓的SIMPLE算法，它是通过不断修正计算结果，反复迭代，最后求出p，u，v的收敛解。SIMPLE算法的基本思想是先假设一个压力分布p^∗，利用它求解动量方程式，得到初始速度分布u^∗和v^∗，即

a_i，Ju_i^∗_，J=∑a_nbu_n^∗_b+（p_I^∗_-1，J-p_I^∗_，J）S_i，J+b_i，J （4.9.12）

a_I，jv_I^∗_，j=∑a_nbv_n^∗_b+（p_I^∗_，J-1-p_I^∗_，J）S_I，j+b_I，j （4.9.13）

上述方程等号右端的速度u_n^∗_b和v_n^∗_b也是初始假设值，等号左端的速度才是计算得到的初始速度分布，一般来讲，这样求得的速度场u^∗和v^∗不能满足连续性方程，压力p^∗也仅仅是一个假设分布，因此，需要对压力p^∗和速度u^∗，v^∗进行修正。

设压力修正量为p′，速度修正量为u′，v′，修正后的压力和速度计算公式可写为

p=^p∗+p′

u=u^∗+u′

v=v^∗+v′

下面的问题是如何求出修正量p′，u′和v′。这里先假设已经知道压力场p的正确值，将p代入方程式（4.9.8）和式（4.9.9），可解得速度场的正确值u，v。这时将方程式（4.9.8）减去方程式（4.9.12），即u-u∗=u′，将方程式（4.9.9）减去方程式（4.9.13），即v-v∗=v′，得到速度修正量的表达式为

a_i，J（u_i，J-u_i^∗_，J）=∑a_nb（u_nb-u_n^∗_b）+[（p_I-1，J-p_I^∗_-1，J）-（p_I，J-p_I^∗_，J）]S_i，J （4.9.14）

a_I，j（v_I，j-v_I^∗_，j）=∑a_nb（v_nb-v_n^∗_b）+[（p_I，J-1-p_I^∗_，J-1）-（p_I，J-p_I^∗_，J）]S_I，j （4.9.15）

于是，有

速度修正量u′和v′由两项构成，从物理意义上讲，前一项是由周围结点速度所引起的修正量，后一项是由同一方向相邻结点压力差引起的修正量。为简单计算，这里略去第一项的影响。从而速度修正量可写为

式中，

有了速度修正量就可得到速度的改进值为

由图4.9.6可以看出，式（4.9.20）和式（4.9.21）表示的速度是主控制容积西侧界面的x方向速度改进值和南侧界面y方向速度改进值。同理，可写出北侧界面y向速度改进值v_I，j+1和东侧界面x方向速度改进值u_i+1，J为

式中，

图4.9.6 主控制容积与连续性方程离散

以上我们从动量方程出发，得到了速度改进值，而由动量方程计算出的速度场必须满足连续性方程。将式（4.9.20）～式（4.9.23）计算得到的速度改进值代入连续性方程（4.9.10），有

整理，得

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将压力修正量p′的系数归一化处理，就得到压力修正方程

式中，

式（4.9.24）是由连续性方程导出的压力修正方程，其中，源项b′的物理意义是，由于速度场的不正确引起的不平衡流量，通过多次迭代修正，最终b′应趋于零。因此，b′可作为判断迭代过程是否满足要求的判据。根据假设的或前次迭代计算得到的速度场，通过求解压力修正方程式（4.9.24）可得压力修正量p′，由此以及式（4.9.20）～式（4.9.23）可得压力和速度的改进值，之后可进行下一层次的迭代计算。SIMPLE算法的计算流程如图4.9.7所示。

应当指出，前面在推导速度场修正量的方程时，忽略了方程式（4.9.16）和式（4.9.17）的第一项，即由周围结点速度引起的修正量和，这样做并不会影响最后的计算结果，因压力修正量p′以及速度修正量u′和v′在迭代最后所得到的收敛解都将趋于零，即最后结果是p=p∗，u=u∗，v=v∗。此外，若相邻两次迭代过程中压力修正量过大，压力修正方程求解时会出现发散现象，特别是在上一层次迭代压力值距真实值较远的情况下。因此，下一层次的压力改进值要采用亚松弛因子计算得出，即