为克服中心差分格式不具备对流输运特性的缺点并提高计算精度，人们相继提出了各种改进的差分格式。

1.一维上风差分格式

中心差分格式取上下游结点值的算术平均，而上风差分在计算控制容积界面上的场变量ϕ或其他参数值时，恒取上游结点处的值。

由无源对流扩散问题方程式（4.5.5）

当S_e=S_w时，有

F_eϕ_e -F_wϕ_w=D_e（ϕ_E-ϕ_P）-D_w（ϕ_P-ϕ_W） （4.8.1）

当流动为正方向时，u_e＞0，u_w＞0，F_e＞0，F_w＞0，上风差分取控制容积界面值为

ϕ_w=ϕ_W，ϕ_e=ϕ_P （4.8.2）

则离散方程式（4.8.1）成为

F_eϕ_P -F_wϕ_W=D_e（ϕ_E-ϕ_P）-D_w（ϕ_P-ϕ_W） （4.8.3）

按结点场变量排列，可得

（D_w+D_e+F_e）ϕ_P=（D_w+F_w）ϕ_W+D_eϕ_E

或

[（D_w+F_w）+D_e+（F_e-F_w）]ϕ_P=（D_w+F_w）ϕ_W+D_eϕ_E （4.8.4）

当流动为负方向时，u_e＜0，u_w＜0（F_e＜0，F_w＜0），上风差分取控制容积界面值为

ϕ_w=ϕ_P，ϕ_e=ϕ_E （4.8.5）

则离散方程式（4.8.1）成为

F_eϕ_E -F_wϕ_P=D_e（ϕ_E-ϕ_P）-D_w（ϕ_P-ϕ_W）

或

[D_w+（D_e-F_e）+（F_e-F_w）]ϕ_P=D_wϕ_W+（D_e-F_e）ϕ_E （4.8.6）

将两种流动方向离散方程式（4.8.4）和式（4.8.6）的系数做归一化处理，可写成我们熟悉的通用格式

a_Pϕ_P=a_Wϕ_W+a_Eϕ_E （4.8.7）

式中，

a_W=D_w+max{F_w，0}，a_E=D_e+max{0，-F_e}，a_P=a_W+a_E+（F_e-F_w）

从上述推导过程中可看出，上风差分格式只改变了对流项的差分格式，使之具有输运特征，而对扩散项的计算仍采用中心差分格式。

【例4.8.1】用上风差分格式重新计算例4.5.1。（1）u=0.1m/s，（2）u=2.5m/s，采用5点粗糙网格离散。

【解】求解域的离散网格如图4.5.3所示，此时有

F_w=F_e=F=ρu，D_w=D_e=D=Γ/δx

对于内部结点2，3和结点4，其离散方程由式（4.8.7）表示。对于边界结点1，将上风差分格式应用于对流项，有

F_eϕ_P -F_Aϕ_A=D_e（ϕ_E-ϕ_P）-D_A（ϕ_P-ϕ_A） （4.8.8）

对于边界结点5，有

F_Bϕ_P -F_wϕ_W=D_B（ϕ_B-ϕ_P）-D_w（ϕ_P-ϕ_W） （4.8.9）

对于边界结点，还有

D_A=D_B=2Γ/δx，F_A=F_B=F

于是，得到(www.daowen.com)

a_Pϕ_P=a_Wϕ_W+a_Eϕ_E+Q₀ （4.8.10）

式中，a_P=a_W+a_E+（F_e-F_w）-QP

D=Γ/δx

各离散方程系数由表4.8.1列出。

表4.8.1 离散方程系数

（1）第一种计算工况

u=0.1m/s，F=ρu=0.1，D=Γ/δx=0.1/0.2=0.5，Pe=F/D=0.2，由此得到表4.8.2中的离散方程系数。

表4.8.2 离散方程系数

将ϕ_A=1，ϕ_B=0代入，解此离散方程可得

解析解与数值解的计算结果比较列于表4.8.3。

表4.8.3 解析解与数值解对比

（2）第二种计算工况

u=2.5m/s，F=ρu=2.5，D=Γ/δx=0.1/0.2=0.5，Pe=5，离散方程各项系数如表4.8.4所列。

表4.8.4 离散方程系数

将■_A=1，■_B=0代入，解离散方程可得

解析解与数值解的计算结果比较列于表4.8.5中。

表4.8.5 解析解与数值解对比

从计算结果可以看出，对于第二种计算工况，是中心差分格式不能得到合理结果，而采用上风差分格式则可得到较为合理的解，这显示了上风差分格式在有较强对流输运状况时的计算优势。

2.多维上风差分格式

高维情况下上风差分计算格式的离散方程可写为

a_Pϕ_P=a_Wϕ_W+a_Eϕ_E+a_Sϕ_S+a_Nϕ_N+a_Bϕ_B+a_Tϕ_T+Q₀ （4.8.11）

a_P=a_W+a_E+a_S+a_N+a_B+a_T+ΔF-Q_P （4.8.12）

方程中各系数计算式列于表4.8.6。

表4.8.6 上风格式离散方程系数

3.上风差分格式的特点

在计算控制容积界面处变量值时上风差分格式是协调的，即相邻控制容积公共界面的输运变量相等，因此离散方程守恒。上风差分离散方程所有系数为正，当流动满足连续性方程时ΔF=0，因此，a_P=∑a_nb-Q_P成立，离散方程的系数矩阵对角占优，满足有界性的要求，计算结果不会出现振荡或不收敛的情况。上风差分格式考虑了流动的方向性，微分方程的输运特征被保留下来。上风差分格式可看成一种向后差分，按差分理论计算只有一阶精度。另外，上风差分格式在对流扩散问题中，对扩散项永远采用中心差分，也就是说无论对流强度多大，扩散输运总是存在的。从前面的输运性讨论中可知，随着网格Pe数的增大，对流输运强度增强，扩散输运强度减弱。当Pe数很大时，若仍保持扩散输运强度不变，必然会给计算带来误差，这在计算流体力学和计算传热学中称为假扩散，上风差分格式引起的假扩散问题会带来不利影响。